2012年广东省湛江市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4}，集合 B={2，4}，则 A∩B=（ ）
A．{2，4}
B．{1，3}
C．{1，2，3，4}
D．∅

2. 难度：中等

复数等于（ ）
A．8
B．-8
C．8i
D．-8i

3. 难度：中等

通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

	男	女	总计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
总计	60	50	110

由上表算得k≈7.8，因此得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

4. 难度：中等

一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（ ）

A．12π
B．15π
C．24π
D．36π

5. 难度：中等

“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知F是双曲线-=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

7. 难度：中等

若函数f（x）的零点与g（x）=4^x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（ ）
A．f（x）=8x-2
B．f（x）=（x+1）²
C．f（x）=e^x-1
D．f（x）=ln（x-）

8. 难度：中等

对一个定义在R上的函数f（x）有以下四种说法：
①∀x∈R，f（1-x）=f（1+x）；
②在区间（-∞，0）上单调递减；
③对任意x₁＞x₂＞0满足f（x₁）＞f（x₂）；
④是奇函数．
则以上说法中能同时成立的最多有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、解答题

9. 难度：中等

已知向量=（1，3），=（x，1），若丄，则x=    ．

10. 难度：中等

的展开式中常数项是    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

曲线y=-x³+3x²在点（1，2）处的切线方程为    ．

12. 难度：中等

给出下列六种图象变换方法：
（1）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；
（2）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
（3）图象向右平移个单位；
（4）图象向左平移个单位；
（5）图象向右平移个单位；
（6）图象向左平移个单位．
请用上述变换中的两种变换，将函数y=sinx的图象变换到函数y=sin（+）的图象，那么这两种变换正确的标号是    （要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可）．

13. 难度：中等

运行如图所示框图，坐标满足不等式组的点共有    个．

14. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，圆O经过B、C且与AB、AC分别相交于D、E．若AE=EC=，则圆O的半径r=    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆的参数方程为（参数θ∈[0，2π）），则圆心到直线l的距离为    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积S=．
（1）求角C的大小；
（2）求H=的最大值，及取得最大值时角A的值．

17. 难度：中等

设数列{a_n}满足：，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若[x]表示不超过实数x的最大整数，如[3.2]=3，[-1.3]=-2等，已知函数f（x）=[x]，数列{b_n}的通项为，试求{b_n}的前2n项和S_2n．

18. 难度：中等

某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行实心球测试，成绩在8米及以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知第一小组为[5，6），从左到右前5个小组的频率分别为0.06，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是6．
（1）求这次实心球测试成绩合格的人数；
（2）用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；
（3）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投一次，求甲投得比乙远的概率．

19. 难度：中等

如图，五面体ABCD中，ABCD是以点H为中心的正方形，EF∥AB，EH丄平面ABCD，AB=2，EF=EH=1．
（1）证明：平面ADF丄平面ABCD；
（2）求五面体EF-ABCD的体积；
（3）设N为EC的中点，若在平面ABCD内存在一点M，使MN丄平面BCE，求MN的长．

20. 难度：中等

已知抛物线y²=mx（m＞0，m为常数）的焦点是F（1，0），P（x，y）是抛物线上的动点，定点A（2，0）．
（1）若x＞2，设线段AP的垂直平分线与x轴交于Q（x₁，O），求x₁的取值范围；
（2）是否存在垂直于x轴的定直线l，使以AP为直径的圆截l得到的弦长为定值？若存在，求其方程，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

设x=1是函数的一个极值点（a＞0，e为自然对数的底）．
（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（2）设m＞-1，若f（x）在闭区间[m，m+1]上的最小值为0，最大值为，求m与a的值．