2012年上海市财大附中高三4月检测数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y=    ．

2. 难度：中等

函数的定义域为    ．

3. 难度：中等

若存在，则实数x的取值范围是    ．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+（2m-1）x+1-3m在x∈（-2，3]上是减函数，则实数m的取值范围为    ．

5. 难度：中等

若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为    ．

6. 难度：中等

已知向量，，向量不能作为平面的一组基底时，则θ=    ．

7. 难度：中等

某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目．按要求对甲项目的投资不少于对乙项目投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元；对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润，对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润，如该公司在正确规划后，在这两个项目上共可获得的最大利润为    万元．

8. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为     ．

9. 难度：中等

（文）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是    ．

10. 难度：中等

某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入10，则输出的S为    ．

11. 难度：中等

设x=cosα，α∈[-]，则arcsinx的取值范围    ．

12. 难度：中等

（理）已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差，则x-y=    ．

ξ	1	2	3
P	x	y	x

13. 难度：中等

（文）五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是    ．

14. 难度：中等

若函数满足：f（x₁）=-2，f（x₂）=0，且|x₁-x₂|的最小值为π，则函数f（x）的单调递增区间为    ．

15. 难度：中等

下列命题
①关于x，y二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的必要非充分条件；
②已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；
③“a＜2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a恒成立”的充要条件；
④“p=0或p=4”是“关于x的实系数方程有且仅有一个实数根”的非充分非必要条件．
其中为真命题的序号是    ．

16. 难度：中等

（理科）若函数f（x）满足，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，则实数m的取值范围是    ．

17. 难度：中等

（文科）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x²．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a=    ．

二、选择题

18. 难度：中等

下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．y=2^x
B．y=lg
C．y=x³+x^-3
D．

19. 难度：中等

对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是（ ）
A．2sinα•cosβ=sin（α+β）+sin（α-β）
B．2cosα•sinβ=sin（α+β）+cos（α-β）
C．
D．

20. 难度：中等

已知0＜α＜π，sinα+cosα=，则cos2α的值为（ ）
A．
B．-
C．±
D．-

21. 难度：中等

下列命题
①命题“若am²＞bm²，则a＞b”的逆命题是真命题；
②若，，则在上的投影是；
③在（+）¹⁶的二项展开式中，有理项共有4项；
④已知一组正数x₁，x₂，x₃，x₄的方差为，则数据x₁+2，x₂+2，x₃+2，x₄+2的平均数为4；
⑤复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），则ab=-6．
其中真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

22. 难度：中等

已知圆x²+y²=1与x轴的两个交点为A，B，若圆内的动点P使，，成等比数列（O为坐标原点），则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．[-1，0）

三、解答题

23. 难度：中等

设函数f（x）=lg（x²-x-2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．已知α：x∈A∩B，β：x满足2x+p＜0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．

24. 难度：中等

（理科）如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M是棱A₁B₁的中点，N是棱A₁D₁的中点．
（1）求直线AN与平面BB₁D₁D所成角的大小；
（2）求B₁到平面ANC的距离．

25. 难度：中等

（文科）如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M是棱A₁B₁的中点，N是棱A₁D₁的中点．
（1）求异面直线AN与BM所成的角；
（2）求三棱锥M-DBB₁的体积．

26. 难度：中等

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．
（1）求sin2α-tanα的值；
（2）若函数f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函数在区间上的取值范围．

27. 难度：中等

设无穷数列{a_n}的前n项和为S_n，且，p为常数，p＜-3．
（1）求证：{a_n}是等比数列，写出{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（p），无穷数列{b_n}满足：b₁=a₁，，求证：是等差数列，并写出{b_n}的通项公式；
（3）设，在（2）的条件下，有，求数列{c_n}的各项和．

28. 难度：中等

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C₂；
（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l₁垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．