2012年广西桂林市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

点P（cos300°，sin300°）在直角坐标平面上位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）²为纯虚数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

差数列{a_n}的公差为2，若a₁，a₃，a₄成等比数列，则a₂=（ ）
A．-6
B．-8
C．8
D．6

4. 难度：中等

对于定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+3）=f（x），若f（-1）=1，则f（1）+f（2）+…+f（10）=（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．10

5. 难度：中等

如果随机变量ξ～N（μ，σ²），且Eξ=3，Dξ=1，则P（-1＜ξ≤1）等于（ ）
A．2Φ（1）-1
B．Φ（4）-Φ（2）
C．Φ（2）-Φ（4）
D．Φ（-4）-Φ（-2）

6. 难度：中等

设函数f（x）=g（x）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．4
B．-
C．2
D．-

7. 难度：中等

用数字0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有1个偶数夹在两个奇数之间的五位数有（ ）
A．12个
B．28个
C．36个
D．48个

8. 难度：中等

已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A、B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值（ ）
A．2
B．-2
C．或-
D．2或-2

9. 难度：中等

将函数f（x）=sin2x的图象按向量平移得到g（x）的图象，则函数f（x）与g（x）的图象（ ）
A．关于直线对称
B．关于直线对称
C．关于直线对称
D．关于y轴对称

10. 难度：中等

在矩形ABCD中，，在DC上截取DE=1，沿AE将△AED翻折得到△AED₁，使点D₁在平面ABC上的射影落在AC上，则二面角D₁-AE-B的平面角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知y=f（x）是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是y=f^-1（x），且y=f（x+1）的图象过A（-4，0），B（2，3）两点，若|f^-1（x+1）|≤3，则x的取值范围是（ ）
A．[0，3]
B．[-4，2]
C．[1，3]
D．[-1，2]

12. 难度：中等

直线l交椭圆4x²+5y²=80于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（ ）
A．5x+6y-28=0
B．5x-6y-28=0
C．6x+5y-28=0
D．6x-5y-28=0

二、解答题

13. 难度：中等

（1+x³）（1-2x）⁶展开式中x⁵的系数为    ．

14. 难度：中等

若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+2cos2α=    ．

15. 难度：中等

半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB的最大值为（S为三角形的面积）    ．

16. 难度：中等

已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是    ．

17. 难度：中等

已知△ABC中的角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA，sinB，sinC成等比数列，且a²-c²=ac-bc，求角A的大小及的值．

18. 难度：中等

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在整个下落过程中它将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入B袋中的概率P（B）；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入2个小球，记落入A袋中的小球个数为ξ，试求ξ的分布列和ξ的数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA₁=4，∠BAD=60°，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直线ED₁与平面EB₁C所成角．

20. 难度：中等

已知函数，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1，且x≥2时，证明：f（x-1）≤2x-5．

21. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1，），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
（2）是否存在这样的椭圆C，使得是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．

22. 难度：中等

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．规定{△²a_n}为{a_n}的二阶差分数列，其中△²a_n=△a_n+1-△a_n．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式，试判断{△a_n}，{△²a_n}是否为等差或等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足，求数列{a_n}的通项公式．