2012年广东省韶关市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数i•（1+ai）是纯虚数，则实数a的值是（ ）
A．1
B．-1
C．0
D．0或-1

2. 难度：中等

已知R是实数集，M={x|x²-2x＞0}，N是函数的定义域，则N∩C_RM=（ ）
A．（1，2）
B．[0，2]
C．∅
D．[1，2]

3. 难度：中等

设a=2^2.5，b=2.5，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．c＞a＞b
C．a＞b＞c
D．b＞a＞c

4. 难度：中等

设x是方程log₃x=3-x的根，则x∈（ ）
A．（0，1）
B．（2，3）
C．（3，4）
D．（4，+∞）

5. 难度：中等

以抛物线y²=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A．（x-1）²+y²=1
B．（x+1）²+y²=1
C．x²+（y-1）²=1
D．x²+（y+1）²=1

6. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：
①α∥β⇒l⊥m
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥m⇒α∥β．
其中正确的命题有（ ）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

函数（x∈R）是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数

8. 难度：中等

已知x、y满足约束条件，则Z=2x+4y的最小值为（ ）
A．-15
B．-20
C．-25
D．-30

9. 难度：中等

执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义符号函数sgnx=，设f（x）=•f₁（x）+•f₂（x），x∈[0，1]，若f₁（x）=，f₂（x）=2（1-x），则f（x）的最大值等于（ ）
A．2
B．1
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

已知A是单位圆上的点，且点A在第二象限，点B是此圆与x轴正半轴的交点，记∠AOB=α，若点A的纵坐标为．则sinα=    ； tan2α=    ．

12. 难度：中等

已知向量，，且，则实数k的值为    ．

13. 难度：中等

下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；
②从总体中抽取的样本，则回归直线y=bx+a必过点（）
③10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；
④绘制频率分布直方图时，各个小长方形的面积等于相应各组的频率．
其中正确的序号是    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，AD=DE，AB=8，BD=6，则=    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=1，则圆C上的点到直线l的距离最小值是    ．

16. 难度：中等

数列{a_n}对任意n∈N^*，满足a_n+1=a_n+1，a₃=2．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若，求{b_n}的通项公式及前n项和．

17. 难度：中等

某中学在校就餐的高一年级学生有440名，高二年级学生有460名，高三年级学生有500名；为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表（服务满意度为x，价格满意度为y）．

价格满意度
1	2	3	4	5
1	1	1	2	2
2	2	1	3	4	1
3	3	7	8	8	4
4	1	4	6	4	1
5		1	2	3	1

（1）求高二年级共抽取学生人数；
（2）求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差；
（3）为提高食堂服务质量，现从x＜3且2≤y＜4的所有学生中随机抽取两人征求意见，求至少有一人的“服务满意度”为1的概率．

18. 难度：中等

如图（1）在等腰△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，现将△ACD沿CD翻折，使得平面ACD⊥平面BCD．（如图（2））
（1）求证：AB∥平面DEF；
（2）求证：BD⊥AC；
（3）设三棱锥A-BCD的体积为V₁、多面体ABFED的体积为V₂，求V₁：V₂的值．

19. 难度：中等

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，且．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ，用θ的三角函数表示三角形△PAC的面积，并求△PAC面积最大值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=f（x）-k（x-1），其中k∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最大值．

21. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是，设动点P的轨迹为C₁，Q是动圆（1＜r＜2）上一点．
（1）求动点P的轨迹C₁的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）设曲线C₁上的三点与点F的距离成等差数列，若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k；
（3）若直线PQ与C₁和动圆C₂均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．