2012年天津市武清区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若i为虚数单位，则复数等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

在的二项展开式中，二项式系数最大的项的项数是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．5或7

3. 难度：中等

命题“∀x∈（1，2），x²＞x+1”的否定为（ ）
A．
B．
C．∀x∉（1，2），x²＞x+1
D．∀x∉（1，2），x²≤x+1

4. 难度：中等

己知数列{a_n}是等比数列，其前n项和为S_n，若a₁=1，S₁+S₂+S₃=3，则S₁₀的值为（ ）
A．171
B．-171
C．341
D．-341

5. 难度：中等

抛物线y²=4x的准线与双曲线的两条渐近线相交得二交点，若二交点间的距离为4，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于（ ）

A．C_n^m-1
B．A_n^m-1
C．C_n^m
D．A_n^m

7. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数，若函数F（x）=f（x）-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，]
B．
C．{0}
D．{0，}

二、解答题

9. 难度：中等

150辆汽车正在经过某一雷达区，这些汽车行进的时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量约为    辆．

10. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图．其中正视图、侧视图、俯视图的外形均是边长为2的正方形，则这个几何体的体积为    ．

11. 难度：中等

以平面直角坐标系的x轴的正半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，则直线ρ（sinθ+cosθ）=1与圆x²+y²-2x+4y+1=0相交所得弦的长为    ．

12. 难度：中等

曲线y=x²与直线y=6x围成的封闭图形的面积为    ．

13. 难度：中等

己知非零向量满足，则最大夹角的正弦值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，设M={y|f（y）f（1-2a）＞f（1）}，N={y|f（ax²+2x-y+3）=1，x∈R}，若M∩N=∅，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=7sinxcosx+7sin²x-，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）的单调区间（用开区间表示）；
（Ⅱ）若f（）=1+4，f（）=2，求sin（）的值．

16. 难度：中等

某大学共有A、B、C三个学生食堂，一个宿舍共有四名学生，在一段时间内，他们每天中午都在学生食堂用餐，且每个学生到这三个食堂中的任一食堂用餐的可能性都相等．用X表示这个宿舍每天中午在A食堂用餐的人数．根据这一时间段该宿舍学生的就餐情况解决下列问题：
（1）求每天中午每个学生食堂中至少有这个宿舍一名学生用餐的概率；
（2）求随机变量X的数学期望和方差．

17. 难度：中等

如图，六棱锥P-ABCDEF的底面ABCDEF是边长为l的正六边形，顶点P在底面上的射影是BF的中点O．
（1）求证：PA⊥BF；
（2）若直线PB与平面ABCDEF所成的角为，求二面角A-PB-D的余弦值．

18. 难度：中等

己知函数．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，成立，解决下列问题．
（Ⅰ）若a₃是2a₁、a₄的等比中项，求a₁的值；
（Ⅱ）求证：数列{}为等差数列；
（Ⅲ）若a₁=2，数列{}的前n项和为S_n，求证．

20. 难度：中等

已知离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）与过点A（5，0），B（0，）的直线有且只有一个公共点M．
（1）求椭圆C的方程及点M的坐标；
（2）是否存在过点M的直线l，依次交椭圆C、x轴、y轴于点N（异于点M）、P、Q，且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．