2012年上海市春季高考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，k}，B={2，5}．若A∪B={1，2，3，5}，则k=    ．

2. 难度：中等

函数y=的定义域是    ．

3. 难度：中等

抛物线y²=8x的焦点坐标是   

4. 难度：中等

若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为    ．

6. 难度：中等

方程4^x-2^x+1=0的解为    ．

7. 难度：中等

若，则a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=    ．

8. 难度：中等

若f（x）=为奇函数，则实数m=    ．

9. 难度：中等

函数y=的最大值为    ．

10. 难度：中等

若复数z满足|z-i|≤（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为    ．

11. 难度：中等

某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为    ．（结果用数值表示）

12. 难度：中等

若不等式x²-kx+k-1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项及公差均为正数，令．当b_k是数列{b_n}的最大项时，k=    ．

14. 难度：中等

若矩阵满足a₁₁，a₁₂，a₂₁，a₂₂∈{-1，1}，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有    个．

二、选择题

15. 难度：中等

已知椭圆，则（ ）
A．C₁与C₂顶点相同
B．C₁与C₂长轴长相同
C．C₁与C₂短轴长相同
D．C₁与C₂焦距相等

16. 难度：中等

记函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x）．如果函数y=f（x）的图象过点（1，0），那么函数y=f^-1（x）+1的图象过点（ ）
A．（0，0）
B．（0，2）
C．（1，1）
D．（2，0）

17. 难度：中等

已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（ ）
A．m与n异面
B．m与n相交
C．m与n平行
D．m与n异面、相交、平行均有可能

18. 难度：中等

设O为△ABC所在平面内一点．若实数x、y、z满足x+y+z=0，（x²+y²+z²≠0），则“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

三、解答题

19. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，高为2，M为线段AB的中点．
求：（1）三棱锥C₁-MBC的体积；
（2）异面直线CD与MC₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

20. 难度：中等

某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．
（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；
（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？

21. 难度：中等

已知双曲线C₁：．
（1）求与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C₂的标准方程；
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C₁的两条渐近线于A、B两点．当时，求实数m的值．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足．
（1）设c_n=3n+6，{a_n}是公差为3的等差数列．当b₁=1时，求b₂、b₃的值；
（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N^*，均有b_n≥b_k；
（3）设，．当b₁=1时，求数列{b_n}的通项公式．

23. 难度：中等

定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）²+y²=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x的取值范围．