2012年四川省泸州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某校高三680名学生（其中男生360名、女生320名）在学术报告厅听了应考心理讲座，为了解有关情况，学校用分层抽样的方法抽取了一个样本，已知该样本中的女生人数为16名，那么该样本中的男生人数为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18

2. 难度：中等

设z=1+i（i是虚数单位），则的值为（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．1-i
D．-1-i

3. 难度：中等

已知函数在x=1处连续，则a的值为（ ）
A．
B．2
C．4
D．

4. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F满足BC=3BF，那么=（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

为了得到y=cos2x（x∈R）的图象，只需将函数y=sin2x（x∈R）的图象上所有点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度

6. 难度：中等

设公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄是a₃与a₇的等比中项，S₈=32，则a₁₀等于（ ）
A．17
B．60
C．16
D．15

7. 难度：中等

已知函数，则“c=-1”是“函数f（x）在R上单调递增”的（ ）条件．
A．充要
B．充分而不必要
C．必要而不充分
D．既不充分也不必要

8. 难度：中等

某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t，运输成本费用为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t，运输成本为1千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的数量是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

9. 难度：中等

设A、B为双曲线=λ（λ≠0）同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m=（1，0），|AB|=6，=3，则双曲线的离心率e等于（ ）
A．2
B．
C．2或
D．2或

10. 难度：中等

用一个边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢．现将半径为1的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），且当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，）
D．（，2）

12. 难度：中等

已知圆C：x²+y²=r²（r＞0）与抛物线y²=40x的准线相切，若直线l：与圆C有公共点，且公共点都为整点（整点是指横坐标．纵坐标都是整数的点），那么直线l共有（ ）
A．60条
B．66条
C．72条
D．78条

二、解答题

13. 难度：中等

在二项式（x²-）⁵的展开式中，含x⁴的项的系数是    ．

14. 难度：中等

经过两点A（m，2）、B（-m，2m-1）的直线与直线2x+y+1=0平行，则m的值为    ．

15. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=BC=CA=a，，则AB′与侧面AC′所成角的大小为    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．现给出下列命题：
①函数为R上的1高调函数；
②函数f（x）=lgx为（0，+∞）上的m（m＞0）高调函数；
③函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
④若函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）．
其中正确命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωx（cosωx-sinωx）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，b=，f（B）=1，求a、c的值．

18. 难度：中等

甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为面试和文化测试，只有面试通过后才能参加文化测试，文化测试合格者即获得自主招生入选资格．因为甲、乙、丙三人各有优势，甲、乙、丙三人面试通过的概率分别为0.5，0.6，0.4；面试通过后，甲、乙、丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人中只有一人通过面试的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格的概率．
（Ⅲ）求甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=，二面角M-BO-C的大小为30°．
（Ⅰ）求证：平面POB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求直线BM与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥D-PMO的体积．

20. 难度：中等

已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点D坐标为（4，0），椭圆C上动点Q关于x轴的对称点为点P，直线PD交椭圆C于点R（异于点P），求证：直线QR过定点．

21. 难度：中等

数列{a_n}，{b_n}（n=1，2，3…）由下列条件确定：①a₁＜0，b₁＞0；②当k≥2时，a_k与b_k满足：当a_k-1+b_k-1≥0时，a_k=a_k-1，；当a_k-1+b_k-1＜0时，，b_k=b_k-1．
（Ⅰ）若a₁=-1，b₁=1，求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，若，用a₁，b₁表示b_k（k∈[1，2，…，s]）并求．

22. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处有极值，求a的值；
（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．问函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由；
（Ⅲ）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e^2（n-2）（n∈N^*）．