2011年江苏省高考数学最新预测试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知复数z₁=m+2i，z₂=3-4i，若为实数，则实数m的值为    ．

2. 难度：中等

某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为    ．

3. 难度：中等

设等差数列{a_n}的公差d≠0，a₁=4d，若a_k是a₁与a_2k的等比中项，则K的值为    ．

4. 难度：中等

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的中心坐标为（3，2），其一边AB所在直线的方程为x-y+1=0，则边AB的对边CD所在直线的方程为    ．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=，若f[f（x）]=2，则x的取值范围是    ．

6. 难度：中等

若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为   

7. 难度：中等

已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填    ．

8. 难度：中等

函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x-2，则f（1）+f′（1）=    ．

9. 难度：中等

若直线ax+by=1（a，b∈R）经过点（1，2），则+的最小值是    ．

10. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xoy中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1）动点M满足条件，则的最大值为    

11. 难度：中等

已知三角形△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c．若角C=，且a=2b，则角B=    ．

12. 难度：中等

对于数列{a_n}，定义数列{△a_n}满足：△a_n=a_n+1-a_n，（n∈N^*），定义数列{△²a_n}满足：△²a_n=△a_n+1-△a_n，（n∈N^*），若数列{△²a_n}中各项均为1，且a₁₀₁=a₂₀₀₉=0，则 a₁=a_n+1-△a_n，（n∈N^*），若数列{△²a_n}中各项均为1，且a₁₀₁=a₂₀₀₉=0，则 a₁=    ．

13. 难度：中等

若对一切x＞0恒成立，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

下列命题中，错误命题的序号有    ．
（1）“a=-1”是“函数f（x）=x²+|x+a+1|（ x∈R） 为偶函数”的必要条件；
（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；
（3）已知a，b，c为非零向量，则“a•b=a•c”是“b=c”的充要条件；
（4）若p：∃x∈R，x²+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x²+2x+2＞0．

15. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b²+c²=a²+bc，求：（1） 2sinBcosC-sin（B-C）的值；（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．

16. 难度：中等

如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，PA=AD，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD．

17. 难度：中等

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间（单位：月），以年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为v（t）=．
（1）若该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i-1＜t≤i表示第i月份（i=1，2，…12），问一年内那几个月份是枯水期？
（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e³=20计算）．

18. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？
（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}满足：b_n=na_n，且数列{b_n}的前n项和为（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求证：数列{S_n+2}是等比数列；
（3）抽去数列{a_n}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，…余下的项顺序不变，组成一个新数列{c_n}，若{c_n}的前n项和为T_n，求证：．

20. 难度：中等

对任意x∈R，给定区间[k-，k+]（k∈Z），设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值．
（1）写出f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=log_a，（＜a＜1），试证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）；
（3）求方程f（x）-log_a=0的实根，（＜a＜1）．

21. 难度：中等

（附加题-选做题）（几何证明选讲）
如图，圆O与圆O₁外切于点P，一条外公切线分别切两圆于A、B两点，AC为圆O的直径，T为圆O₁上任点，CT=AC．求证：CT为圆O₁的切线，切点为T．

22. 难度：中等

已知矩阵，点M（-1，-1），点N（1，1）．
（1）求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段M′N′的长度；
（2）求矩阵A的特征值与特征向量．

23. 难度：中等

（附加题-选做题）（坐标系与参数方程）
已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．

24. 难度：中等

已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，求a的取值范围．

25. 难度：中等

（附加题-必做题）
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（I）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？若存在，请求出F点的位置；若不存在，请说明理由．

26. 难度：中等

一袋中有m（m∈N^*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．
（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；
（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；
（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．