2012年陕西省西安市五校高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“存在x∈Z使x²+2x+m≤0”的否定是（ ）
A．存在x∈Z使x²+2x+m＞0
B．不存在x∈Z使x²+2x+m＞0
C．对任意x∈Z使x²+2x+m≤0
D．对任意x∈Z使x²+2x+m＞0

2. 难度：中等

已知x与y之间的几组数据如下表：

X		1	2	3
y	1	3	5	7

则y与x的线性回归方程必过（ ）
A．（1，3）
B．（2，5）
C．（1.5，4）
D．（3，7）

3. 难度：中等

设p：q：（x-a）•[x-（a+1）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2i（i为虚数单位），（1+i）a_n+1=（1-i）a_n（n∈N^*），则a₂₀₁₂的值为（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．2i

5. 难度：中等

已知f（x）=e^xcosx，则此函数图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（ ）
A．零角
B．锐角
C．直角
D．钝角

6. 难度：中等

已知集合A={x|x²+y²=4}，集合B={x||x+i|＜sintdt，i为虚数单位，x∈R}，则集合A与B的关系是（ ）
A．A⊂B
B．B⊂A
C．A∩B=A
D．A∩B=∅

7. 难度：中等

若变量a，b满足约束条件，n=2a+3b，则n取最小值时，二项展开式中的常数项为（ ）
A．-80
B．80
C．40
D．-20

8. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-1，g（x）=-x²+4x-3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为（ ）
A．[1，3]
B．（1，3）
C．
D．

9. 难度：中等

在△ABC中，已知向量，，则△ABC的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知点A（-1，0）、B（1，0），P（x，y）是直线y=x+2上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率e关于x的函数为e（x），那么下列结论正确的是（ ）
A．e与x一一对应
B．函数e（x）无最小值，有最大值
C．函数e（x）是增函数
D．函数e（x）有最小值，无最大值

二、解答题

11. 难度：中等

观察式子：1+，1+，1+，…，则可归纳出式子为    ．

12. 难度：中等

阅读右面的程序，当分别输入a=3，b=5时，输出的值a=    ．

13. 难度：中等

一质点受到平面上的三个力F₁，F₂，F₃（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F₁，F₂成60°角，且F₁，F₂的大小分别为2和4，则F₃的大小为    ．

14. 难度：中等

如图，一个三棱锥的三视图的轮廓都是边长为1的正方形，则此三棱锥外接球的表面积    ．

15. 难度：中等

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题评分）
A．对于实数x，y，若|x-1|≤2，|y-1|≤2，则|x-2y+1|的最大值    ．
B．圆（θ为参数）的极坐标方程为    ．
C．如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC=4，PB=8，则S_△OBC=    ．

16. 难度：中等

已知四个正实数前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个与第三个的和为8，第二个与第四个的积为36．
（Ⅰ）求此四数；
（Ⅱ）若前三数为等差数列{a_n}的前三项，后三数为等比数列{b_n}的前三项，令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

17. 难度：中等

如图，已知⊙O的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是半圆上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC两侧．
（1）若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数；
（2）求四边形OPDC面积的最大值？

18. 难度：中等

“剪刀、石头、布”游戏的规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，如果所出的拳相同，则为和局．现甲乙二人通过“剪刀、石头、布”游戏进行比赛．
（Ⅰ） 设甲乙二人每局都随机出“剪刀”、“石头”、“布”中的某一个，求甲胜乙的概率；
（Ⅱ）据专家分析，乙有以下的出拳习惯：①第一局不出“剪刀”；②连续两局的出拳方法一定不一样，即如果本局出“剪刀”，则下局将不再出“剪刀”，而是选“石头”、“布”中的某一个．假设专家的分析是正确的，甲根据专家的分析出拳，保证每一局都不输给乙．在最多5局的比赛中，谁胜的局数多，谁获胜．游戏结束的条件是：一方胜3局或赛满5局，用X表示游戏结束时的游戏局数，求X的分布列和期望．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥底面ABCD，AB=2，AD=1，，∠BAD=120°，E在棱SD上．
（Ⅰ）当SE=3ED时，求证：SD⊥平面AEC；
（Ⅱ）当二面角S-AC-E的大小为30°时，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

20. 难度：中等

设动点P（x，y）（x≥0）到定点的距离比到y轴的距离大．记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设圆M过A（1，0），且圆心M在P的轨迹上，BD是圆M 在y轴的截得的弦，当M 运动时弦长BD是否为定值？说明理由；
（Ⅲ）过作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形面GRHS的最小值．

21. 难度：中等

已知a＞0，函数（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项，S_n是前n项和，证明：S_n-1＜lnn（n≥2）．