2012年湖南省怀化市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内复数（1-i）²对应的点位于（ ）
A．一、三象限的角平分线上
B．二、四象限的角平分线上
C．实轴上
D．虚轴上

2. 难度：中等

已知集合M={x∈R|（x-1）（x-2）＞0}和N={x∈R|x²+x＜0}则P：x∈M是q：x∈N的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为 ①长、宽不相等的矩形；②正方形；③圆；④三角形．其中正确的是（ ）

A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

4. 难度：中等

若{a_n}为等差数列，S_n是其前n项和，且，则tana₆的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（ ）

x	3	4	5	6
y	2.5	t	4	4.5

A．3
B．3.15
C．3.5
D．4.5

6. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

程序框图如图所示，已知曲线E的方程为ax²+by²=ab（a，b∈R），若该程序输出的结果为s，则（ ）
A．当s=1时，E是椭圆
B．当s=-1时，E是双曲线
C．当s=0时，E是抛物线
D．当s=0时，E是一个点

8. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
①f（x）=x²（x≥0）；
②f（x）=e^x（x∈R）；
③f（x）=（x≥0）；
④f（x）=．
A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．①③

二、解答题

9. 难度：中等

已知a+b+c=1，m=a²+b²+c²，则m的最小值为    ．

10. 难度：中等

曲线C₁的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C₂的极坐标方程为ρ=r（r＞0），若斜率为1的直线经过C₁的焦点，且与C₂相切，则r=    ．

11. 难度：中等

用0.618法进行优选时，若某次存优范围[2，b]上的一个好点是2.382，则b=    ．

12. 难度：中等

已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2-）•=    ．


13. 难度：中等

从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高  （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150）三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为    ．

15. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是    ．

16. 难度：中等

如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第8行的实心圆点的个数是    ．设第n行的实心圆点的个数是 f（n），则f（n）的递推关系式为    ．

17. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

今天你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：

A小区	低碳族	非低碳族		B小区	低碳族	非低碳族
比例P				比例P

（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰好有两人是低碳族的概率；
（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随机地从A小区中任选25个人，记ξ表示25个人中的低碳族人数，求Eξ和Dξ．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．

20. 难度：中等

2010年，中国浙江吉利控股集团有限公司以18亿美元收购沃尔沃汽车公司，并计划投资20亿美元来发展该品牌．据专家预测，从2010年起，沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆（2010年的销售量为20000辆），销售利润按照每年每辆比上一年减少10%（2010年销售利润为2万美元/辆）计算．求
（1）第n年的销售利润为多少？
（2）到2014年年底，中国浙江吉利控股集团有限公司能否通过沃尔沃汽车实现盈利？（即销售利润超过总投资，0.95≈0.59）．

21. 难度：中等

设椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：

x	3	-2	4
y	-2	0	-4		-

（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C₁交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C₂的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若，求b的最大值．
（3）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，g（x）=f'（x）-a（x-x₁），求证：．