2011-2012学年浙江省宁波市高三（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（ ）
A．-
B．
C．2
D．1

2. 难度：中等

已知a，b∈R，则“ab=1”是a²+b²≥2的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（0）=（ ）
A．0
B．2
C．4
D．8

4. 难度：中等

在如图的程序框图，如果输入的n=9，那么输出的S=（ ）

A．81
B．53
C．45
D．41

5. 难度：中等

函数f（x）=sin（x-）+cos（x-）图象的一个对称中心是（ ）
A．（，0）
B．（-，0）
C．（，0）
D．（0，0）

6. 难度：中等

下面四个命题，正确的是（ ）
A．己知直线a，b⊂平面α，直线c⊂平面β，若c⊥a，c⊥b，则平面α⊥平面β
B．若直线a平行平面α内的无数条直线，则直线a∥平面α
C．若直线a垂直直线b在平面a内的射影，则直线a⊥b
D．若直线a，b．c两两成异面直线，则一定存在直线与a，b，c都相交

7. 难度：中等

已知集合M，N，P为全集I的子集，满足P∪M=P∩N，则下列结论不正确的是（ ）
A．P⊆N
B．M⊆P
C．（C₁P）∩M=∅
D．M=N

8. 难度：中等

已知双曲线M：和双曲线N：，其中b＞a＞0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（ ）

A．2097
B．2111
C．2012
D．2090

10. 难度：中等

函数f（x）=（0≤x≤π）的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

二、解答题

11. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

12. 难度：中等

的展开式中x²的系数是    ．

13. 难度：中等

己知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则其侧视图的周长为    ．

14. 难度：中等

己知集合A={1，2，3，4，5}，从A中任取三个元素构成集合B={a₁，a₂，a₃}，记ξ=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+|a₃-a₁|，则Eξ=    ．

15. 难度：中等

某条道路一排共10盏路灯，为节约用电，晚上只打开其中的3盏灯．若要求任何连续三盏路灯中至少一盏是亮的且首尾两盏灯均不打开．则这样的亮灯方法有    种．

16. 难度：中等

已知三个正数a，b，c满足2b+c≤3a，2c+a≤3b，则的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知O为△ABC的外心，||=16，||=10，若，且32x+25y=25，则||=    •

18. 难度：中等

已知函数f（θ）=2sin²（）-cos2θ，设△ABC的最小内角为A，满足f（A）=2．
（I）求角A的大小；
（II）若BC边上的中线长为3，求△ABC面积的最大值．

19. 难度：中等

已知正数数列{a_n}的前n项和为Sn，满足S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
（I）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出通项公式；
（II）设b_n=（1-）²-a（1-），若b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

如图，己知平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点，现将梯形ABCG沿着AG折起到AFEG．
（I）求证：直线CE∥直线EF；
（II）若直线GE与平面 ABCD所成角为．
①求证：FG⊥平面ABCD：
②求二面B一EF一A的平面角的余弦值．

21. 难度：中等

己知点F为抛物线C：y²=x的焦点，斜率为1的直线l交抛物线于不同两点P，Q．以F为圆心，以FP，FQ为半径作圆，分别交x轴负半轴于M，N，直线PM，QN交于点T．
（I）判断直线PM与抛物线C的位置关系，并说明理由；
（II）连接FT，FQ，FP，记S₁=S_△PFT，S₂=S_△QFT，S₃=S_△PQT设直线l在y轴上的截距为m，当m何值时，取得最小值，并求出取到最小值时直线l的方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-x²-3x，g（x）=ax²-3x+b，（a，b∈R，且a≠0，b≠0）．满足f（x）与g（x）的图象在x=x处有相同的切线l．
（I）若a=，求切线l的方程；
（II）已知m＜x＜n，记切线l的方程为：y=k（x），当x∈（m，n）且x≠x时，总有[f（x）-k（x）]•[g（x）-k（x）]＞0，则称f（x）与g（x）在区间（m，n）上“内切”，若f（x）与g（x）在区间（-3，5）上“内切”，求实数a的取值范围．