2011-2012学年江苏省宿迁市致远中学高三第一次质量检测数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设集合A={x|x＞-1}，B={x|x≤5}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

命题“对任意的x∈R，x³-x²+1≤1”的否定是    ．

3. 难度：中等

将复数表示为a+bi（a，b∈R．i为虚数单位）的形式为    ．

4. 难度：中等

取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是    ．

5. 难度：中等

已知平面向量，，与夹角的余弦值为     ．

6. 难度：中等

根据如图所示的算法流程，可知输出的结果i为    ．

二、填空题

7. 难度：中等

已知，其中，则=    ．

三、解答题

8. 难度：中等

现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为    ．

9. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且a₁，成等差数列，则=    ．

10. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，给出下列四个命题，正确命题的题号是    ．
①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
②若l⊥α，l∥m，则m⊥α
③若l∥α，m⊂α，则l∥m
④若l∥α，m∥α，则l∥m．

11. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，过F₁作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF₂垂直于x轴，则椭圆的离心率为    ．

12. 难度：中等

设f（x）=|2-x²|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是     ．

13. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1，则下列四个命题中真命题的序号为    ．①S₂₀₁₁=2011； ②S₂₀₁₂=2012； ③a₂₀₁₁＜a₂；   ④S₂₀₁₁＜S₂．

14. 难度：中等

若函数f（x）=x³-ax²（a＞0）在区间上是单调递增函数，则使方程f（x）=1000有整数解的实数a的个数是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，tanB=3．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积．

16. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC C₁B₁；
（Ⅱ）设E是B₁C₁上的一点，当的值为多少时，A₁E∥平面ADC₁？请给出证明．

17. 难度：中等

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=0，f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．

18. 难度：中等

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
（I）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数．
（II）若R=45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（精确到0.01m²）

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）求证：n＞m；
（Ⅲ）求证：对于任意的t＞-2，总存x∈（-2，t），满足，并确定这样的x的个数．