2011-2012学年河南省四校高三第二次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数为纯虚数，则a的值（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

2. 难度：中等

定义集合运算：A⊙B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，设集合A={-1，0}，B={sinα，cosα}，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A．1
B．0
C．sinα+cosα
D．-sinα-cosα

3. 难度：中等

若向量和向量平行，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知函数，则该函数是（ ）
A．非奇非偶函数，且单调递增
B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（ ）

A．1
B．3
C．7
D．15

6. 难度：中等

函数具有性质（ ）
A．最大值为，图象关于直线对称
B．最大值为1，图象关于直线对称
C．最大值为，图象关于（）对称
D．最大值为1，图象关于对称

7. 难度：中等

已知函数，若不等式f（x）＜4的解集非空，则（ ）
A．m≥4
B．m≥2
C．m＜4
D．m＜2

8. 难度：中等

一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）

A．12π
B．
C．3π
D．12

9. 难度：中等

椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

10. 难度：中等

记等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₃=5，S₆=15，则S₉=（ ）
A．45
B．20
C．30
D．35

11. 难度：中等

已知[x]表示不超过x的最大整数，如：[-0.1]=-1，[0.5]=0，现从[log₃1]，[log₃2]，[log₃3]，[log₃4]，…，[log₃81]中任取一个数，其中该数为奇数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）的导数f′（x）=2x-9，且f（0）的值为整数，当x∈（n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）的值为整数的个数有且只有1个，则n=（ ）
A．2
B．6
C．8
D．4

二、解答题

13. 难度：中等

命题“∀x∈R，都有|x-1|-|x+1|≤3”的否定是    ．

14. 难度：中等

sin10°sin30°sin50°sin70°=    ．

15. 难度：中等

奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x）+f（4-x）=0，且f（1）=8，则f（2010）+f（2011）+f（2012）的值为    ．

16. 难度：中等

已知函数，若f（x）在（0，+∞）上单调递减，则实数的取值范围为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S=（a²+b²-c²）．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinB的取值范围．

18. 难度：中等

袋中装有号码分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，设号码为n的球的重量为n²-6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．
（1）如果任意取出1球，求其重量大于号码数的概率；
（2）如果不放回地任意取出2球，求它们重量相等的概率．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=．
（I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥C-PAB的体积．

20. 难度：中等

设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，且内切于圆x²+y²=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点，求△PAB面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1_：几何证明选讲
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，且CE=AB=AC，连接BD，交AC于点F．
（I ）证明：BD平分∠ABC；
（II）若AD=6，BD=8，求DF的长．

23. 难度：中等

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x²+y²=4相交与两点A，B，求A，B两点间的距离．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）解不等式：|2x-1|-|x|＜1；
（Ⅱ）设f（x）=x²-x+1，实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．