2012年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知M={y|y=x²}，N={y|x²+y²=2}，则M∩N=（ ）
A．{（1，1），（-1，1）}
B．{1}
C．[0，1]
D．

2. 难度：中等

已知复数z=（i是虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．
B．i
C．
D．i

3. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）的准线过双曲线的左焦点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（2，0）
C．（3，0）
D．（，0）

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知m＞0，且mcosα-sinα=sin（α+φ），则tanφ=（ ）
A．-2
B．-
C．
D．2

6. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

8. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为（ ）

A．102
B．410
C．614
D．1638

9. 难度：中等

关于方程3^x+x²+2x-1=0，下列说法正确的是（ ）
A．方程有一负实根，一零根
B．方程有一正实根，一零根
C．方程有两个不相等的负实根
D．方程有两个不相等的正实根

10. 难度：中等

值域为{2，5，10}，其对应关系为y=x²+1的函数的个数（ ）
A．1
B．27
C．39
D．8

11. 难度：中等

已知两个非零向量，且与的夹角是钝角或直角，则m+n的取值范围是（ ）
A．
B．[2，6]
C．
D．（2，6）

12. 难度：中等

已知（a＞b＞0），M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k₁，k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

二项式（1+sinx）⁶的展开式中二项式系数最大的一项的值为，则x在[0，2π]内的值为    ．

14. 难度：中等

设实数x，y满足不等式组则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

一个四棱锥的底面是正方形，其顶点在底面的射影为正方形的中心．已知该四棱锥的各顶点都在同一个球面上，且该四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积是    ．

16. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下运算和结论：
①a₂₄=；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和为T_n=；
④若存在正整数k，使S_k＜10，S_k+1≥10，则a_k=．
其中正确的结论是    ．（将你认为正确的结论序号都填上）

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（I）求cosB的值；
（II）若，且，求a和c的值．

18. 难度：中等

第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

19. 难度：中等

如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点，DE⊥面CBB₁
（Ⅰ）证明：DE∥面ABC；
（Ⅱ）若BB₁=BC，求CA₁与面BB₁C所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知圆C₁的方程为x²+（y-2）²=1，定直线l的方程为y=-1．动圆C与圆C₁外切，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
（Ⅱ）斜率为k的直线m与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线m的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M与另一点Q，记S为轨迹M与直线PQ围成的封闭图形的面积，求S的值．

21. 难度：中等

设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，求证：．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB为直
径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E．
（Ⅰ）求证：DC是⊙O的切线；
（Ⅱ）若EB=6，EC=6，求BC的长．

23. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．