2011-2012学年安徽省六安市霍邱一中高三第二次质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z=（x-5）+（3-x）i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，5）
B．（5，+∞）
C．（3，+∞）
D．（3，5）

2. 难度：中等

在样本的频率分布直方图中，一共有m（m≥3）个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m-1个小矩形面积之和的，且样本容量为100，则第3组的频数是（ ）
A．0.2
B．25
C．20
D．以上都不正确

3. 难度：中等

已知圆的直角坐标方程为x²+y²-2y=0．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）
A．ρ=2cosθ
B．ρ=2sinθ
C．ρ=-2cosθ
D．ρ=-2sinθ

4. 难度：中等

“m＜1”是“函数f（x）=x²+x+m有零点”的（ ）
A．充分非必要条件
B．充要条件
C．必要非充分条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数

6. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则z=2^x•4^y的最大值为（ ）
A．64
B．32
C．2
D．

7. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）

A．n＞10
B．n≤10
C．n＜9
D．n≤9

8. 难度：中等

皖西七校高三联考中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100）．已知参加本次考试的理科学生约9458人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在前多少名左右？（ ）
A．1500
B．1700
C．4500
D．8000

9. 难度：中等

已知函数，若方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3）
B．（0，3）
C．（0，2）
D．（0，1）

10. 难度：中等

在边长为1的正三角形ABC中，，x＞0，y＞0，且x+y=1，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

若双曲线x²+ky²=1的一个焦点是（3，0），则实数k=    ．

12. 难度：中等

设集合S_n={1，2，3，…，n}，若X⊆S_n，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量为奇（偶）数，则称X为S_n的奇（偶）子集．则S₄的所有奇子集的容量之和为    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，边上的高为，则AC+BC=    ．

14. 难度：中等

若（1-2x）⁴=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则a₁-2a₂+3a₃-4a₄=    ．

15. 难度：中等

如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么正方体的8个顶点构成的四面体是“三节棍体”的概率是    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=（x+1）lnx．
（1）求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设，对任意x∈（0，1），g（x）＜-2，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，某地公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示：
（1）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？
（3）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数ξ的分布列及其均值．

18. 难度：中等

已知△ABC的面积为，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，0＜C＜90°．
（1）求sin（A+B）的值；   
（2）求的值；
（3）求向量的数量积．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C、BB₁A₁A为全等的矩形，并且AB=1，BB₁=2，AB⊥侧面BB₁C₁C，D为棱C₁C上异于C、C₁的一点，且DB⊥DA₁．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角A-DB₁-A₁的余弦值．

20. 难度：中等

如图，椭圆C：的顶点为A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，，|A₁B₁|=，S_▱A1B1A2B2=2S_▱B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，且，是否存在上述直线l使=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A（1，1），过A作抛物  线的切线交x轴于B₁，过B₁点作x轴的垂线交抛物线于A₁，过A₁作抛物线的切线交x轴于B₂，…，过A_n（x_n，y_n）作抛物线的切线交x轴于B_n+1（x_n+1，0）
（1）求{x_n}，{y_n}的通项公式；
（2）设a_n=+，数列{a_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-．
（3）设b_n=1-log₂y_n，若对任意正整数n，不等式（1+）（1+）…（1+）≥a成立，求正数a的取值范围．