2012年湖南省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={-1，0，1}，N={x|x²≤x}，则M∩N=（ ）
A．{0}
B．{0，1}
C．{-1，1}
D．{-1，0，0}

2. 难度：中等

命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠，则tanα≠1
B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α=

3. 难度：中等

某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

5. 难度：中等

已知双曲线C：-=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C的方程为（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

6. 难度：中等

函数f（x）=sinx-cos（x+）的值域为（ ）
A．[-2，2]
B．[-，]
C．[-1，1]
D．[-，]

7. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，AC=3，•=1，则BC=（ ）
A．
B．
C．2
D．

8. 难度：中等

已知两条直线l₁：y=m 和 l₂：y=（m＞0），l₁与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A，B，l₂ 与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（ ）
A．16
B．8
C．8
D．4

二、解答题

9. 难度：中等

在直角坐标系xoy 中，已知曲线C₁：（t为参数）与曲线C₂：（θ为参数，a＞0 ） 有一个公共点在X轴上，则a等于    ．

10. 难度：中等

不等式|2x+1|-2|x-1|＞0的解集为    ．

11. 难度：中等

如图，过点P的直线与圆⊙O相交于A，B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于    ．

12. 难度：中等

已知复数z=（3+i）²（i为虚数单位），则||=    ．

13. 难度：中等

（）⁶的二项展开式中的常数项为    （用数字作答）．

14. 难度：中等

如果执行如图所示的程序框图，输入x=-1，n=3，则输出的数S=    ．

15. 难度：中等

函数f（x）=sin （ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
（1）若φ=，点P的坐标为（0，），则ω=    ；
（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为    ．

16. 难度：中等

设N=2ⁿ（n∈N^*，n≥2），将N个数x₁，x₂，…，x_N依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P=x₁x₂…x_N．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P₁=x₁x₃…x_N-1x₂x₄…x_N，
将此操作称为C变换，将P₁分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P₂，当2≤i≤n-2时，将P_i分成2ⁱ段，每段个数，并对每段作C变换，得到P_i+1，例如，当N=8时，P₂=x₁x₅x₃x₇x₂x₆x₄x₈，此时x₇位于P₂中的第4个位置．
（1）当N=16时，x₇位于P₂中的第    个位置；
（2）当N=2ⁿ（n≥8）时，x₁₇₃位于P₄中的第    个位置．

17. 难度：中等

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

一次性购物量	1至4件	5 至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	x	30	25	y	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（1）若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式．
（2）证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

20. 难度：中等

某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．
（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；
（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．

21. 难度：中等

在直角坐标系xoy中，曲线C₁上的点均在C₂：（x-5）²+y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程
（Ⅱ）设P（x，y）（y≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别于曲线C₁相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=e^ax-x，其中a≠0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）＞k成立？若存在，求x的取值范围；若不存在，请说明理由．