2012年陕西省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合M={x|lgx＞0}，N={x|x²≤4}，则M∩N=（ ）
A．（1，2）
B．[1，2）
C．（1，2]
D．[1，2]

2. 难度：中等

下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y=x+1
B．y=-x²
C．
D．y=x|x|

3. 难度：中等

设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（ ）
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．以上三个选项均有可能

5. 难度：中等

如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CA=CC₁=2CB，则直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m_甲，m_乙，则（ ）

A．，m_甲＞m_乙
B．，m_甲＜m_乙
C．，m_甲＞m_乙
D．，m_甲＜m_乙

7. 难度：中等

设函数f（x）=xe^x，则（ ）
A．x=1为f（x）的极大值点
B．x=1为f（x）的极小值点
C．x=-1为f（x）的极大值点
D．x=-1为f（x）的极小值点

8. 难度：中等

两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）
A．10种
B．15种
C．20种
D．30种

9. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a²+b²=2c²，则cosC的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

观察下列不等式：
，
，

…
照此规律，第五个不等式为    ．

12. 难度：中等

（a+x）⁵展开式中x²的系数为10，则实数a的值为    ．

13. 难度：中等

如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为    米．

14. 难度：中等

设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x-2y在D上的最大值为    ．

15. 难度：中等

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立，则实数a的取值范围是    ．
B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=    ．
C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为    ．

16. 难度：中等

函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设，则，求α的值．

17. 难度：中等

设{a_n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S_n，且a₅，a₃，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的公比；
（2）证明：对任意k∈N₊，S_k+2，S_k，S_k+1成等差数列．

18. 难度：中等

（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

19. 难度：中等

已知椭圆，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上，，求直线AB的方程．

20. 难度：中等

某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

办理业务所需的时间（分）	1	2	3	4	5
频率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

21. 难度：中等

设函数f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊，b，c∈R）
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间内存在唯一的零点；
（2）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设x_n是f_n（x）在内的零点，判断数列x₂，x₃，…，x_n的增减性．