2012年重庆市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₂=1，a₄=5，则{a_n}的前5项和S₅=（ ）
A．7
B．15
C．20
D．25

2. 难度：中等

不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x²+y²=2 的位置关系一定是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心

4. 难度：中等

的展开式中常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．105

5. 难度：中等

设tanα，tanβ是方程x²-3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3

6. 难度：中等

设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，-4）且⊥，∥，则|+|=（ ）
A．
B．
C．
D．10

7. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（ ）
A．既不充分也不必要的条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．充要条件

8. 难度：中等

设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1-x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）
B．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（1）
C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（-2）
D．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2）

9. 难度：中等

设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（0，）
C．（1，）
D．（1，）

10. 难度：中等

设平面点集，则A∩B所表示的平面图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=    ．

12. 难度：中等

=    ．

13. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=    ．

14. 难度：中等

过抛物线y²=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=    ．

15. 难度：中等

某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为    （用数字作答）．

16. 难度：中等

设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 求函数f（x）的极值．

17. 难度：中等

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（Ⅰ） 求甲获胜的概率；
（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．

18. 难度：中等

设f（x）=4cos（ωx-）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求点C到平面A₁ABB₁的距离；
（Ⅱ）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值．

20. 难度：中等

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B₁做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求直线l的方程．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a₂S_n+a₁，其中a₂≠0．
（I）求证：{a_n}是首项为1的等比数列；
（II）若a₂＞-1，求证，并给出等号成立的充要条件．