2012年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

计算：=    （i为虚数单位）．

2. 难度：中等

若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x-1|＜2}，则A∩B=    ．

3. 难度：中等

函数f（x）=的值域是    ．

4. 难度：中等

若=（-2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为    （结果用反三角函数值表示）．

5. 难度：中等

在的二项展开式中，常数项等于    ．

6. 难度：中等

有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V₁，V₂，…，V_n，…，则（V₁+V₂+…+V_n）═    ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=e^|x-a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为    ．

9. 难度：中等

已知y=f（x）+x²是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（-1）=    ．

10. 难度：中等

如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=    ．

11. 难度：中等

三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是    （结果用最简分数表示）．

12. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为    ．

14. 难度：中等

如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若1+i是关于x的实系数方程x²+bx+c=0的一个复数根，则（ ）
A．b=2，c=3
B．b=-2，c=3
C．b=-2，c=-1
D．b=2，c=-1

16. 难度：中等

在△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定

17. 难度：中等

设10≤x₁＜x₂＜x₃＜x₄≤10⁴，x₅=10⁵，随机变量ξ₁取值x₁、x₂、x₃、x₄、x₅的概率均为0.2，随机变量ξ₂取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ₁、Dξ₂分别为ξ₁、ξ₂的方差，则（ ）
A．Dξ₁＞Dξ₂
B．Dξ₁=Dξ₂
C．Dξ₁＜Dξ₂
D．Dξ₁与Dξ₂的大小关系与x₁、x₂、x₃、x₄的取值有关

18. 难度：中等

设a_n=sin，S_n=a₁+a₂+…+a_n，在S₁，S₂，…S₁₀₀中，正数的个数是（ ）
A．25
B．50
C．75
D．100

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．

20. 难度：中等

已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

21. 难度：中等

海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

22. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²-y²=1．
（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C₂：4x²+y²=1，若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

23. 难度：中等

对于数集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{-1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x_n＞1时，x₁=1；
（3）若X具有性质P，且x₁=1、x₂=q（q为常数），求有穷数列x₁，x₂，…，x_n的通项公式．