2012年北京市门头沟区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-3x-4≤0}，B={x|x＜-2或x＞3}，则集合A∩∁_∪B等于（ ）
A．{x|-2≤x≤4}
B．{x|-2≤x≤-1}
C．{x|-1≤x≤3}
D．{x|3＜x≤4}

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=3，a₃=2，则此数列的前10项之和S₁₀等于（ ）
A．55.5
B．7.5
C．75
D．-15

3. 难度：中等

己知某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A．4
B．8
C．
D．

4. 难度：中等

在△ABC中，已知，，AB=1，则BC为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

极坐标ρ=2cosθ和参数方程（θ为参数）所表示的图形分别是（ ）
A．直线、圆
B．直线、椭圆
C．圆、圆
D．圆、椭圆

6. 难度：中等

在△ABC所在平面内有一点O，满足，，则等于（ ）
A．
B．
C．3
D．

7. 难度：中等

已知点P在抛物线y²=4x上，则点P到直线l₁：4x-3y+6=0的距离和到直线l₂：x=-1的距离之和的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．3

8. 难度：中等

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为，AA₁=2，点M是BC的中点，P是平面A₁BCD₁内的一个动点，且满足PM≤2，P到A₁D₁和AD的距离相等，则点P的轨迹的长度为（ ）
A．π
B．
C．
D．2

二、解答题

9. 难度：中等

已知复数为纯虚数，则a=    ．

10. 难度：中等

曲线y=x³与直线x=1及x轴所围成的图形的面积为    ．

11. 难度：中等

某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试，再按笔试成绩择优取40名参加面试，随机抽查了20名笔试者，统计他们的成绩如下：

分数段	[60，65）	[65，70）	[70，75）	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）
人数	1	3	6	6	2	1	1

由此预测参加面试所画的分数线是    ．

12. 难度：中等

如图：点P是⊙O直径AB延长线上一点，PC是⊙O的切线，C是切点，AC=4，BC=3，则PC=    ．

13. 难度：中等

在平面上有两个区域M和N，其中M满足，N由t≤x≤t+1确定，当t=0时，M和N公共部分的面积是    ；当0≤t≤1时，M和N的公共部分面积的最大值为    ．

14. 难度：中等

给出定义：若（其中m为整数），则m叫离实数x最近的整数，记作[x]=m，已知f（x）=|[x]-x|，下列四个命题：
①函数f（x）的定义域为R，值域为；   ②函数f（x）是R上的增函数；
③函数f（x）是周期函数，最小正周期为1；    ④函数f（x）是偶函数，
其中正确的命题是    ．

15. 难度：中等

已知：函数（ω＞0）的周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

16. 难度：中等

如图，在多面体ABCD-EF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EH∥平面FAC；
（Ⅱ）求证：EH⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角A-FC-B的大小．

17. 难度：中等

将编号为1，2，3，4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数．
（Ⅰ）求1号球恰好落入1号盒子的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望Eξ．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4，当时，若对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围．

20. 难度：中等

数列{a_n}满足．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ） 求证：a₁+a₂+…+a_n=；
（Ⅲ）求证：．