2012年福建省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z满足zi=1-i，则z等于（ ）
A．-1-i
B．1-i
C．-1+i
D．1+i

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁+a₅=10，a₄=7，则数列{a_n}的公差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x∈R，≤0
B．∀x∈R，2^x＞x²
C．a+b=0的充要条件是=-1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件

4. 难度：中等

一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D．圆柱

5. 难度：中等

下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg（x²+）＞lgx（x＞0）
B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）
C．x²+1≥2|x|（x∈R）
D．（x∈R）

6. 难度：中等

如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．D（x）的值域为{0，1}
B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数
D．D（x）不是单调函数

8. 难度：中等

已知双曲线的右焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A．
B．
C．3
D．5

9. 难度：中等

若函数y=2^x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

10. 难度：中等

函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x²）在[1，]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]
其中真命题的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④

二、解答题

11. 难度：中等

（a+x）⁴的展开式中x³的系数等于8，则实数a=    ．

12. 难度：中等

阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于    ．

13. 难度：中等

已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式a_n=ncos+1，前n项和为S_n，则S₂₀₁₂=    ．

15. 难度：中等

对于实数a和b，定义运算“﹡”：a*b=设f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是    ．

16. 难度：中等

受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：

品牌	甲			乙
首次出现故障时间x（年）	0＜x＜1	1＜x≤2	x＞2	0＜x≤2	x＞2
轿车数量（辆）	2	3	45	5	45
每辆利润（万元）	1	2	3	1.8	2.9

将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X₁，生产一辆乙品牌轿车的利润为X₂，分别求X₁，X₂的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．

17. 难度：中等

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

18. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，求AB的长．

19. 难度：中等

如图，椭圆E：的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=．过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+ax²-ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．

21. 难度：中等

（1）选修4-2：矩阵与变换
设曲线2x²+2xy+y²=1在矩阵A=（a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x²+y²=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值．
（Ⅱ）求A²的逆矩阵．

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且，求证：a+2b+3c≥9．