2012年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={y|y=-x²，-1≤x≤2}，则∁_R（A∩B）等于（ ）
A．R
B．（-∞，-2）∪（0．+∞）
C．（-∞，-1）∪（2，+∞）
D．φ

2. 难度：中等

若复数（a+i）²在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．-

3. 难度：中等

“a＜-2”是“函数f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点x”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件

4. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（ ）

A．0
B．
C．
D．

5. 难度：中等

△ABC中，∠A=，BC=3，AB=，则∠C=（ ）
A．
B．
C．
D．或

6. 难度：中等

设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；    
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α； 
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）
A．
B．2π
C．3π
D．4π

8. 难度：中等

函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）

A．
B．
C．x=1
D．x=2

9. 难度：中等

在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形

10. 难度：中等

类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S（x）=a^x-a^-x，C（x）=a^x+a^-x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是：（ ）
①S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；②S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）；
③2S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；④2S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）．
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③

11. 难度：中等

设e₁、e₂分别为具有公共焦点F₁、F₂的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足||=||，则的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．1

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组，那么m²+n²的取值范围是（ ）
A．（3，7）
B．（9，25）
C．（13，49）
D．（9，49）

二、解答题

13. 难度：中等

若等差数列{a_n}的前5项和S₅=25，且a₂=3，则a₇=    ．

14. 难度：中等

已知直线l₁与圆x²+y²+2y=0相切，且与直线l₂：3x+4y-6=0平行，则直线l₁的方程是    ．

15. 难度：中等

设（e为自然对数的底数），则的值    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=，则关于x的方程f[f（x）]+k=0给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有1个实根；
②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．
其中正确命题的序号是    （把所有满足要求的命题序号都填上）．

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cosα和sinβ的值；
（2）在（1）的条件下，求cos（β-α）的值；
（3）已知点C，求函数的值域．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足=，求数列{b_n}的通项公式．

19. 难度：中等

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．

20. 难度：中等

已知点A（-1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ||•||cos²θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．
（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：．

22. 难度：中等

如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．
（1）求证：圆心O在直线AD上．
（2）求证：点C是线段GD的中点．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）P是圆C上一动点，点Q满足，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|2x+2|．
（I）解不等式f（x）＞5；
（II）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．