2011-2012学年吉林省长春市高三第一次调研数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（ ）
A．M∪N
B．M∩N
C．C_U（M∪N）
D．C_U（M∩N）

2. 难度：中等

若命题￢（pvq）为假命题，则（ ）
A．p、q中至少有一个为真命题
B．p、q中至多有一个为真命题
C．p、q均为真命题
D．p、q均为假命题

3. 难度：中等

复数z₁=2+i，z₂=1-i，则z₁•z₂在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）
A．求数列的前10项和（n∈N^*）
B．求数列的前10项和（n∈N^*）
C．求数列的前11项和（n∈N^*）
D．求数列的前11项和（n∈N^*）

5. 难度：中等

一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．π
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，∠A=，BC=3，AB=，则∠C=（ ）
A．或
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设圆锥曲线r的两个焦点分别为F₁，F₂，若曲线r上存在点P满足|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（ ）
A．
B．或2
C．2
D．

8. 难度：中等

设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；    
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α； 
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

已知，且||=||||=1，则（ ）
A．
B．
C．-
D．-

10. 难度：中等

函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）

A．
B．
C．x=1
D．x=2

11. 难度：中等

已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A、B两点，且||=||，其中O为原点，则实数a的值为（ ）
A．2
B．-2
C．2或-2
D．或-

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，那么m²+n² 的取值范围是（ ）
A．（9，49）
B．（13，49）
C．（9，25）
D．（3，7）

二、解答题

13. 难度：中等

若等差数列{a_n}的前5项和S_n=25，且a₂=3，则a₄=    ．

14. 难度：中等

实数x、y满足条件，则目标函数z=3x+y的最大值为    ．

15. 难度：中等

曲线y=x³+x-2的一条切线平行于直线y=4x-1，则切点P的坐标为     ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
①∃x∈R，使得sinx+cosx＞1；
②设f（x）=sin（2x+），则∀x∈（-，），必有f（x）＜f（x+0.1）；
③设f（x）=cos（x+），则函数y=f（x+）是奇函数；
④设f（2x）=2sin2x，则f（x+）=2sin（2x+）．
其中正确的命题的序号为    （把所有满足要求的命题序号都填上）．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2cosxsin（x+）-．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在给定的坐标系内，用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期内的图象．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足…，求数列{b_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）当PD=1时，求此四棱锥的表面积．

20. 难度：中等

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4
y	-2		-4

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的极值．

22. 难度：中等

如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．
（1）求证：圆心O在直线AD上．
（2）求证：点C是线段GD的中点．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）P是圆C上一动点，点Q满足，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|2x+2|．
（I）解不等式f（x）＞5；
（II）若不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集，求a的取值范围．