2010年广东省华南师大附中高考数学模拟试卷（一）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x||x|＜4}，B=[x|x²-4x+3≥0]，则集合{x|x∈A且x∉A∩B}=（ ）
A．（1，3）
B．[1，3]
C．（-4，1）∪（3，4）
D．[-4，1]∪[3，4]

2. 难度：中等

若集合A={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b，∈A}，则B的真子集的个数是（ ）
A．4
B．8
C．15
D．16

3. 难度：中等

如果命题“p且q”是假命题，那么（ ）
A．命题“非p”与“非q”的真假不同
B．命题“非p”与“非q”至少有一个是真命题
C．命题“p”与“非q”同真假
D．命题“非p且非q”是真命题

4. 难度：中等

“函数y=f（x）在x=x处连续”是“函数y=f（x）在x=x处可导”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

设随机变量ξ 的分布列为P（ξ=k ）=a•（ ）^k  （其中k=1，2，3），则a的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设随机变量ξ 满足Eξ=-1，Dξ=3，则E[3（ξ ²-2）]=（ ）
A．9
B．6
C．30
D．36

7. 难度：中等

=（ ）
A．1
B．
C．0
D．不存在

8. 难度：中等

下列说法中正确的是（ ）
A．isinθ是纯虚数
B．若a、b、c、d是实数，则必有a+bi=c+di⇔
C．-a的平方根是±
D．iⁿ+iⁿ⁺¹+iⁿ⁺³=0（n∈N）

9. 难度：中等

已知函数f（x）=，有下面四个结论：
①f（x）在x=0处连续；
②f（x）在x=-3处连续；
③f（x）在x=0处可导；
④f（x）在x=-3处可导．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10. 难度：中等

函数y=asinx+sin3x在x=处有极值，则a=（ ）
A．-6
B．6
C．-2
D．2

11. 难度：中等

如果函数f（x）=ax³-x²+x-5在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（，+∞）
D．[，+∞）

12. 难度：中等

已知f（x）=2x³-6x²+m（m为常数）在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值是（ ）
A．-37
B．-29
C．-5
D．以上都不对

二、解答题

13. 难度：中等

在独立重复的射击试验中，某人击中目标的概率是，则他在射击时击中目标所需要的射击次数ξ 的期望是    ．

14. 难度：中等

已知z₁，z₂是方程z²-2z+2=0的两根，且z₁对应点在第一象限，则=    ．

15. 难度：中等

在等比数列{a_n} 中，已知a₁=，a₃a₄=-108，则（++…+）=    ．

16. 难度：中等

曲线y=x³+3x²+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程是    ．

17. 难度：中等

解关于x的不等式x²-（a+3）x+2（a+1）≥0．

18. 难度：中等

已知袋中有红色球3个，蓝色球2个，黄色球1个，从中任取一球，确定颜色后，不再放回袋中．
（1）求在三次选取中恰好有两次取到蓝色球的概率；
（2）若取到红球就结束选取，且最多只可以取三次，求取球次数的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

已知z²=3+4i，求z³-6z+的值．

20. 难度：中等

有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁．

21. 难度：中等

已知数列 {a_n}，其中a₂=6且 =n．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求（++…+ ）．

22. 难度：中等

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤．