2012年四川省眉山市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，则等于（ ）
A．2i
B．-2i
C．-2
D．2

2. 难度：中等

“x＞0”是“|x-1|＜1”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知向量，若与垂直，则λ的值为（ ）
A．-2或0
B．-2或
C．-2
D．

4. 难度：中等

已知角α的终边经过点（-8，-6）则sin2α=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在对我市普通高中学生某项身体素质的测试中．测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（0，1）内取值的概率为（ ）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.3

6. 难度：中等

将函数f（x）=sin2x的导函数的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
A．y=2cos2x+2
B．y=2cos2x-2
C．y=2sin2x-2
D．y=2sin2x+2

7. 难度：中等

设f^-1（x））是函数f（x）=2^x-1的反函数，若f^-1（a-1）+f^-1（b-1）=1，则f（ab）的值为（ ）
A．3
B．1
C．7
D．15

8. 难度：中等

在2011年“西博会”会展中心的眉山展区，欲展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计作品1件，展出时将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该展台展出这5件作品不同的排法有（ ）
A．12种
B．36种
C．24种
D．48种

9. 难度：中等

已知函数是奇函数，则函数y=log_a|x-2a|的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知α、β是空间不同的平面，a、b是空间不同的直线，下列命题错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设{b_n}是等差数列，b₁+b₂+b₃=15，b₃+b₅+b₇=33，S_n是数列{b_n}前n项和，令的最小值为（ ）
A．6
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足，若方程f（x）-ax=0有5个实根，则正实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知函数，在x=1处连续，则实数a的值为    ．

14. 难度：中等

的展开式中第4项的值是-40，则=    ．

15. 难度：中等

在地球北纬45°圈上有A、B两点，点A在西经l0°，点B在东经80°，设地球半径为R，则A、B两点的球面距离为    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）对其定义域内的任意实数，则称函数f（x）为上凸函数． 若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x₁、x₂、x₃，…，x_n都有（当x₁=x₂=x₃=…=x_n时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是．
其中，正确命题的序号是    （写出所有你认为正确命题的序号）．

17. 难度：中等

己知函数
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的值域；
（II）若在A内是增函数，求a的取值范围．

18. 难度：中等

已知△ABC，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量=（a，-2b-c），=（cosA，cosC），且∥．
（I）求角A的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．

19. 难度：中等

眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方．在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化“知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
（I）分别求“甲队得2分乙队得1分”和“甲队得3分乙队得0分”的概率；
（II）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

20. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=2，M是BC的中点．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-M的大小；
（Ⅲ）求点C₁到平面AB₁M的距离．

21. 难度：中等

已知正项数列{a_n}的前项和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）设；
（Ⅲ）设，求证：．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在区间上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）比较的大小（n∈N^*且n≥2，e是自然对数的底数）．