2012年江苏省南京市中学高考数学一模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

计算：=    ．

2. 难度：中等

若复数为纯虚数，则m=    ．

3. 难度：中等

某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为：x，8，9，10，11．已知这组数据的平均数为10，则其方差为    ．

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，若a₁=3，前三项的和为21，则a₄+a₅+a₆=    ．

5. 难度：中等

设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P，且x∉Q}，若P={1，2，3，4}，，则P-Q=    ．

6. 难度：中等

根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I为    ．

7. 难度：中等

已知扇形的周长为8cm，则该扇形的面积S的最大值为    cm²．

8. 难度：中等

过椭圆（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线l与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若AM=MB，则该椭圆的离心率为    ．

9. 难度：中等

若方程lg|x|=-|x|+5在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，则所有满足条件的k的值的和为    ．

10. 难度：中等

如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，则两艘船之间的距离为    海里．

11. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为棱AA₁的中点．若截面△BC₁D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为    ．

12. 难度：中等

设p：函数f（x）=|x-a|在区间（4，+∞）上单调递增；q：log_a2＜1，如果“¬p”是真命题，“q”也是真命题，求实数a的取值范围．

13. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-x⁴，x∈[，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是    ．

15. 难度：中等

某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
（1）该队员只属于一支球队的概率；
（2）该队员最多属于两支球队的概率．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD中为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos²x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）定义在上的值域．
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y²=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．

19. 难度：中等

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a₁=p＞0，且．
（1）若数列{a_n}为等差数列，求p的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）当n≥2时，求证：．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，EF∥CD，FG切⊙O于点G．求证EF=FG．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，．在平面直角坐标系中，设直线2x-y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．

23. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），P是椭圆上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

24. 难度：中等

不等式选讲
已知a，b为正数，求证：．

25. 难度：中等

已知圆F₁：（x+1）²+y²=16，定点F₂（1，0），动圆过点F₂，且与圆F₁相内切．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且△ABF₁的面积为，求直线l的方程．

26. 难度：中等

已知：（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ（n≥2，n∈N^*）
（1）当n=5时，求a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值．
（2）设，T_n=b₂+b₃+b₄+…+b_n．试用数学归纳法证明：当n≥2时，．