2011-2012学年广西第三届百所高中高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部为（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

2. 难度：中等

若函数的定义域为A，函数g（x）=lg（x-1），x∈[2，11]的值域为B，则A∩B为（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，1]
C．[0，1]
D．（0，1]

3. 难度：中等

一个等差数列第5项a₅=10，且a₁+a₂+a₃=3，则有（ ）
A．a₁=-2，d=3
B．a₁=2，d=-3
C．a₂=-3，d=2
D．a₃=3，d=-2

4. 难度：中等

如果实数x、y满足条件，那么2x-y的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．-2
D．-3

5. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，△ABC是边长为的正三角形，点D是PB的中点，则异面直线PA与CD所成角的正切值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知曲线与在x=x处切线的斜率的乘积为3，则x的值为（ ）
A．-2
B．2
C．
D．1

7. 难度：中等

将函数的图象如右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则的值为（ ）
A．2
B．-1
C．
D．

8. 难度：中等

已知圆M：x²+y²+2mx-3=0（m＜0）的半径为2，椭圆的左焦点为F（-c，0），若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

9. 难度：中等

从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有（ ）
A．80种
B．100种
C．120种
D．240种

10. 难度：中等

已知，是两个互相垂直的单位向量，且，=t则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2
B．
C．4
D．

11. 难度：中等

如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，则平面ACD₁截球O的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数．且是以2为周期的周期函数．若当x∈[0，1）时，f（x）=2^x-1，则的值为（ ）
A．
B．一5
C．
D．一6

二、解答题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x-1的反函数为y=f^-1（x），若f^-1（a）+f^-1（b）=4，则ab=    ．

14. 难度：中等

已知，则=    ．

15. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E为A₁D₁的中点，则BE与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为    ．

16. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线与双曲线C₁共焦点，C₁与C₂在第一象限相交于点P，且|F₁F₂|=|PF₁|，则双曲线的离心率为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中的面积等于，求a，b．

18. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₁=2，a₃=18，等差数列{b_n}中，b₁=2，且a₁+a₂+a₃=b₁+b₂+b₃+b₄＞20．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，M是SD的中点．
（1）求证：SB∥平面ACM；
（2）求二面角D-AC-M的大小．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆C上，且，定点A（-4，0）．
（1）求证：当λ=1时，；
（2）若当，求椭圆C的方程．

22. 难度：中等

已知，其中e是自然常数，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的极值，证明恒成立；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．