2012年内蒙古赤峰市元宝山二中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，则z的共轭复数=（ ）
A．
B．2+i
C．-i
D．i

2. 难度：中等

函数的单调递减区间是（ ）
A．1
B．（1，3）
C．（3，+∞）
D．（3，5）

3. 难度：中等

若执行如图的程序框图，则输出的k的值为（ ）

A．11
B．10
C．9
D．8

4. 难度：中等

中国女排战胜日本队的概率为，战胜美国队的概率为，两场比赛的胜负相互独立；则中国队在与日本队和美国队的比赛中，恰好胜一场的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

，则tan2α=（ ）
A．
B．
C．
D．-2

6. 难度：中等

如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

F₁、F₂是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，B是该椭圆短轴的一个端点，直线BF₁与椭圆C交于点A，若|AB|，|F₁F₂|，|AF₂|成等差数列，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．-40
B．-20
C．20
D．40

9. 难度：中等

抛物线y=x²-4x+3及其在点A（1，0）和B（3，0）处的两条切线所围成图形的面积为（ ）
A．
B．
C．2
D．

10. 难度：中等

平面向量夹角为=（ ）
A．7
B．
C．
D．3

11. 难度：中等

函数的图象为C，如下结论中正确的是（ ）
①图象C关于直线x=对称；
②函数f（x）在区间，内是增函数；
③图象C关于点对称；
④由y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④

12. 难度：中等

定义方程f（x）=f′（x）的实数根x叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=lnx，φ（x）=cosx（x∈（，π））的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（ ）
A．α＜β＜γ
B．α＜γ＜β
C．γ＜α＜β
D．β＜α＜γ

二、解答题

13. 难度：中等

变量x，y满足条件则2x-y的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知双曲线中心在原点，右焦点与抛物线y²=16x的焦点重合，则该双曲线的离心率为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，如果，B=30°，b=2，则△ABC的面积为    ．

16. 难度：中等

正三棱锥S-ABC的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，球心为O，M是线段SO的中点，过M与SO垂直的平面分别截三棱锥S-ABC和球所得平面图形的面积比为    ．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=3，且满足，
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD=1，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

19. 难度：中等

甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图所示．
（Ⅰ）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适，请说明理由；
（Ⅱ）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

20. 难度：中等

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）与圆O：x²+y²=3相切，过C的一个焦点且斜率为的直线也与圆O相切．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）P是圆O上在第一象限的点，过P且与圆O相切的直线l与C的右支交于A、B两点，△AOB的面积为，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x，y）为切点的切线的斜率 k恒成立，求实数a的最小值．
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（）+m-1的图象与y=f（1+x²）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．

23. 难度：中等

（选做题）直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t是参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P与Q分别是直线l与曲线C上的动点，求|PQ|的最小值．

24. 难度：中等

（选做题）设函数f（x）=|x+1|+|x-a|．
（Ⅰ）若a=2，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）如果∀x∈R，f（x）≥3，求a的取值范围．