2012年四川省绵阳市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1-i（其中i为虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．-
B．
C．-
D．

2. 难度：中等

“函数f（x）在点x=x处连续”是“函数f（x）在点x=x处有极限”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

平面内动点P（x，y）与A（-2，0），B（2，0）两点连线的斜率之积为 ，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．x²+4y²=4
B．x²-4y²=4
C．x²+4y²=4（x≠±2）
D．x²-4y²=4（x≠±2）

4. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，，已知，则=（ ）
A．+
B．-
C．-+
D．--

5. 难度：中等

函数f（x）=的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

直线l与抛物线y²=4x交于A，B两点；线段AB中点为（，1），则直线l的方程为（ ）
A．2x-y+8=0
B．2x+4y-1=0
C．2x-y-4=0
D．2x+4y-9=0

7. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=，a_n+b_n=1，b_n+1=，则b₂₀₁₁=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

把函数f（x）=2sin（2x-）-1的图象按向量a=（-，1）平移后得到函数y=g（x）的图象，则函数g（x）在区间[，]上的最大值为（ ）
A．1
B．0
C．-
D．-1

9. 难度：中等

已知曲线C₁=：x²+y²-2x+2y=0和曲线C₂：（θ为参数）关于直线l₁．对称，直线l₂过点（，-1）且与l₁的夹角为60°，则直线l₂的方程为（ ）
A．y=x-4
B．x=或y=-
C．y=-
D．x=或y=x-4

10. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₂且平行于y轴的直线交双曲线的渐近线于M N两点．若△MNF₁为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（A）（ ）
A．（1，）
B．（1，）
C．（，+∞）
D．（，+∞）

11. 难度：中等

已知关于x的方程x²+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率．记分别以m、n为横纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=log_a（x+3）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞2
B．a≥2
C．1＜a＜2
D．1＜a≤2

12. 难度：中等

若实数x，y满足方程组则cos（x+2y）=（ ）
A．0
B．
C．
D．1

二、解答题

13. 难度：中等

计算log₅0.25+2log₅10=    ．

14. 难度：中等

已知扇形AOB（∠AOB为圆心角）的面积为，半径为2，则△AOB的面积为    ．

15. 难度：中等

已知M（x，y）为抛物线y=x²，上的动点，点N的坐标为（2，0），则的最小值为    ．

16. 难度：中等

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”．给出定义域均为D={x|0≤x≤4}的四组函数如下：
①f（x）=ln（x+1），g（x）=；   ②f（x）=x³，g（x）=3x-1；
③f（x）=e^x-2x（其中e为自然对数的底数），g（x）=2-x；④f（x）=x-，g（x）=．
其中，函数f（x）和g（x）在D上为“密切函数”的是    ．

17. 难度：中等

已知向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，2cosωx-sinωx）（x∈R，ω＞0）函数f（x）=||+•且最小正周期为π，
（1）求函数，f（x）的最大值，并写出相应的x的取值集合；
（2）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c且f（B）=2，c=3，S_△ABC=6，求b的值．

18. 难度：中等

为备战2012年伦敦奥运会，爾家篮球队分轮次迸行分项冬训．训练分为甲、乙两组，根据经验，在冬训期间甲、乙两组完成各项训练任务的概率分别为和P（P＞0）假设每轮训练中两组都各有两项训练任务需完成，并且每项任务的完成与否互不影响．若在一轮冬训中，两组完成训练任务的项数相等且都不小于一项，则称甲、乙两组为“友好组”
（I）若p=求甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率；
（II）设在6轮冬训中，甲、乙两组成为“友好组”的次数为ζ，当Eζ≤2时，求P的取值范围．

19. 难度：中等

已知圆的半径为1，圆心C在直线l₁：y=x上，其坐标为整数，圆C截直线l₂：x-3y+9=0所得的弦长为
（1）求圆C的标准方程；
（2）设动点P在直线l：x-y-2=0上，过点P作圆的两条切线PA，PB切点分别为A，B，求四边形PACB面积的最小值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+4n（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，且首项b₁和公比q满足：
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=，记数列{c_n}的前n项和T_n，若不等式λ（a_n-2n）≤4T_n对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的最大值．

21. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F_lvF₂，离心率e=，A为右顶点，K为右准线与x轴的交点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的上顶点为B，问是否存在直线l，使直线l交椭圆于C，D两点，且椭圆的左焦点F₁恰为△BCD的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0）
（I）若直线l₁交函数f（x）的图象于P，Q两点，与l₁平行的直线l₂与函数f（x）的图象切于点R，求证 P，R，Q三点的横坐标成等差数列；
（II）若不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（III）求证：+++…+＜〔其中n≥2，n∈N^*，e为自然对数的底数）．