2011-2012学年山东省烟台市莱州一中高三第三次质量检测数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的虚部是（ ）
A．
B．
C．3
D．1

2. 难度：中等

集合A={x|x²-2x≤0}，B={x|y=lg（1-x）}，则A∩B等于（ ）
A．{x|0＜x≤1}
B．{x|0≤x＜1}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|1≤x＜2}

3. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和是S_n，若a₁+a₂=5，a₃+a₄=9，则S₁₀的值为（ ）
A．55
B．60
C．65
D．70

4. 难度：中等

“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则∠B等于（ ）
A．60°
B．30°或150°
C．60°
D．60°或120°

6. 难度：中等

双曲线mx²+y²=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ）
A．
B．-4
C．4
D．

7. 难度：中等

设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

8. 难度：中等

偶函数f（x）满足f（1-x）=f（x+1），且x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，则关于x的方程f（x）=，在x∈[0，3]上解的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（x∈R，A＞0，w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设x，y满足约束条若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值1，则+的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

11. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（ ）

A．288+36π
B．60π
C．288+72π
D．288+18π

12. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F₁，F₂，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

设，，是单位向量，且，则向量，的夹角等于    ．

14. 难度：中等

以点（2，-1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是    ．

15. 难度：中等

已知曲线y=x²-1在x=x点处的切线与曲线y=1-x³在x=x处的切线互相平行，则x的值为   

16. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形   
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形    
④△ABC不可能是等腰三角形，其中正确的判断是    ．

17. 难度：中等

已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且a+c=4，求边长b．

18. 难度：中等

如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（Ⅰ）求证：平面BCD⊥平面ABC
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅲ）求四面体B-CDE的体积．

19. 难度：中等

已知{a_n}是递增的等差数列，满足a₂•a₄=3，a₁+a₅=4．
（1） 求数列{a_n}的通项公式和前n项和公式；
（2） 设数列{b_n}对n∈N^*均有成立，求数列{b_n}的通项公式．

20. 难度：中等

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm³）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

如图，椭圆C：焦点在x轴上，左、右顶点分别为A₁、A，上顶点为B，抛物线C₁、C₂分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O．C₁与C₂相交于直线上一点P．
（Ⅰ）求椭圆C及抛物线C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点，0），求的最小值．