2012年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A满足A⊆{1，2}，则集合A的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，复数z₁=a+i，z₂=2-i，且|z₁|=|z₂|，则实数a的值为（ ）
A．2
B．-2
C．2或-2
D．±2或0

3. 难度：中等

已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是（ ）
A．4
B．
C．
D．-4

4. 难度：中等

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分l00分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（ ）

A．7
B．8
C．9
D．10

5. 难度：中等

已知向量=（3，-4），=（6，-3），=（m，m+1），若∥，则实数m的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-e^-x+1（e是自然对数的底数），若f（a）=2，则f（-a）的值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

7. 难度：中等

已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出α⊥β的是（ ）
A．m⊥l，l∥α，l∥β
B．m⊥l，α∩β，m⊂α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β
D．m∥l，l⊥β，m⊂α

8. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．函数在其定义域上是减函数
B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C．命题“∃x∈R，x²+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x²+x+1＜0”
D．给定命题P、q，若P∧q是真命题，则¬P是假命题

9. 难度：中等

阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（ ）

A．9
B．10
C．11
D．12

10. 难度：中等

已知实数a，b满足a²+b²-4a+3=0，函数f（x）=asinx+bcosx+1的最大值记为φ（a，b），则φ（a，b）的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3

二、解答题

11. 难度：中等

不等式x²+2x-3＜0的解集为    ．

12. 难度：中等

如图，A，B两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，2，3，4．从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为5的概率是    ．

13. 难度：中等

已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点，|OP|=（点O为坐标原点），点M（-1，0），则cos∠MOP的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，若等边三角形ABC（顶点A，B，C按顺时针方向排列）的顶点A，B的极坐标分别为（2，），（2，），则顶点C的极坐标为    ．

15. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使BC=2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，BD，则面的值为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若，，且，，求sin（α-β）的值．

17. 难度：中等

甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示

食物类型	甲	乙	丙
维生索C（单位/kg）	300	500	300
维生素D（单位/kg）	700	100	300
成本（元/k）	5	4	3

某工厂欲将这三种食物混合成100kg的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为x kg、y kg、z kg．
（1）试以x、y表示混合食物的成本P；
（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C及40000单位维生素D，问x、y、z取什么值时，混合食物的成本最少？

18. 难度：中等

某建筑物的上半部分是多面体MN-ABCD，下半部分是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁（如图1）．该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图2，其中正（主）视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成．
（1）求线段AM的长；
（2）证明：平面ABNM⊥平面CDMN；
（3）求该建筑物的体积．

19. 难度：中等

已知对称中心为坐标原点的椭圆C₁与抛物线C₂：x²=4y有一个相同的焦点F₁，直线l：y=2x+m与抛物线C₂只有一个公共点．
（1）求直线l的方程；
（2）若椭圆C₁经过直线l上的点P，当椭圆C₁的离心率取得最大值时，求椭圆C₁的方程及点P的坐标．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，都有a_n＞0且，令．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）使乘积b₁•b₂…b_k为整数的k（k∈N^*）叫“龙数”，求区间[1，2012]内的所有“龙数”之和；
（3）判断b_n与b_n+1的大小关系，并说明理由．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．