2011-2012学年湖南省永州市蓝山二中高三第五次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={-2，0，1}，集合B={x||x|＜a且x∈Z}，则满足A⊊B的实数a可以取的一个值是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

2. 难度：中等

若（1-2x）⁴=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则|a|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|的值为（ ）
A．1
B．16
C．81
D．41

3. 难度：中等

如图，设D是图中边长分别为2和4的矩形区域，E是D内位于函数y=x²图象下方的区域（阴影部分），向D内随机抛掷30个点，则落在E内的点的个数约为（ ）

A．15
B．20
C．5
D．10

4. 难度：中等

已知命题p：“a=1是x＞0，x+≥2的充分必要条件”，命题q：“存在x∈R，+x-2＞0”，则下列命题正确的是（ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧（￢q）”是真命题
C．命题“（￢p）∧q”是真命题
D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题

5. 难度：中等

已知cos（-α）=，则sin（-2α）的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

6. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（log₄5）等于（ ）
A．2
B．4
C．3
D．

7. 难度：中等

已知实数x，y满足线性约束条件，目标函数z=y-ax（a∈R），若z取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-1，0）
C．（1，+∞）
D．（-∞，-1）

8. 难度：中等

形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成不重复的“五位波浪数”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

幂函数f（x）=x^α（α为常数）的图象经过（3，），则f（x）的解析式是    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=e^xlnx-1的零点个数是    个．

11. 难度：中等

按如图所示的程序框图运算，若输出k=2，则输入x的取值范围是    ．

12. 难度：中等

数列{a_n}满足：a₁=2，a_n=1-（n=2，3，4，…），则a₁₂=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a+b|+|a-b|≥|a|•f（x）成立，则实数x的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则++=设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心．如a+b+c=，则内角A的大小为    ；若a=3，则△ABC的面积为    ．

15. 难度：中等

给定集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（n∈N，n≥3），定义a_i+a_j（1≤i＜j≤n，i，j∈N）中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量，用L（A）表示，若A={2，4，6，8}，则L（A）=    ；若数列{a_n}是等差数列，设集合A={a₁，a₂，a ₃，…，a _m}（其中m∈N^*，m为常数），则L（A）关于m的表达式为    ．

16. 难度：中等

若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品．
（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；
（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωx•cos（ωx+）+（ω＞0）的最小正周期为4π（1）求正实数ω的值；（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bcosA=acosC+ccosA，求f（A）的值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前三项与数列{b_n}的前三项对应相等，且a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n对任意的n∈N^*都成立，数列{b_n+1-b_n}是等差数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N^*，使得b_k-a_k∈（0，1）？请说明理由．

19. 难度：中等

某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11-x）²万件．但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a（1≤a≤3）．若该企业所生产的产品全部销售．
（1）求该企业一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；
（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．

20. 难度：中等

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）上单调递增，若对任意x，y∈（0，+∞）都有：f（xy）=f（x）+f（y）成立，数列{a_n}满足：a₁=f（1）+1，f（）+f（+）=0．设S_n=+++…++．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并求S_n关于n的表达式；
（2）设函数g（x）对任意x、y都有：g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，若g（1）=1，正项数列{b_n}满足：=g（），T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较4S_n与T_n的大小．

21. 难度：中等

定义F（x，y）=（1+x）^y，其中x，y∈（0，+∞）．
（1）令函数f（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1）），其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x（-4＜x＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；
（2）令函数g（x）=F（1，log₂[（lnx-1）e^x+x]），是否存在实数x∈[1，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）当x，y∈N，且x＜y时，求证：F（x，y）＞F（y，x）．