2012年上海市闸北区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

方程1+x^-2=0的全体实数解组成的集合为    ．

2. 难度：中等

不等式的解集为    ．

3. 难度：中等

设，则数列{a_n}的各项和为    ．

4. 难度：中等

等腰三角形底角的正切值为2，则顶角的正切值等于    ．

5. 难度：中等

若函数f（x）的图象与对数函数y=log₄x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）=    ．

6. 难度：中等

从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为    （用数字作答）．

7. 难度：中等

在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程2x²+y²=18所表示的曲线上整点的个数为    ．

8. 难度：中等

已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最大值是    ．

9. 难度：中等

A杯中有浓度为a%的盐水x克，B杯中有浓度为b%的盐水y克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为    ．

10. 难度：中等

关于x的不等式（a＞b＞0）的解集为    ．

11. 难度：中等

如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD=2x，梯形面积为S．则S关于x的函数解析式及定义域为    ．

二、选择题

12. 难度：中等

设直线l₁与l₂的方程分别为a₁x+b₁y+c₁=0与a₂x+b₂y+c₂=0，则“”是“l₁∥l₂”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

13. 难度：中等

曲线的长度为（ ）
A．
B．
C．2π
D．π

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N^*，有，其中S_n表示数列{a_n}的前n项和．则=（ ）
A．0
B．1
C．
D．2

15. 难度：中等

在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个复数z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i（a₁，a₂，b₁，b₂∈R），z₁＞z₂当且仅当“a₁＞a₂”或“a₁=a₂且b₁＞b₂”．
按上述定义的关系“＞”，给出如下四个命题：
①1＞i＞0；
②若z₁＞z₂，z₂＞z₃，则z₁＞z₃；
③若z₁＞z₂，则，对于任意z∈C，z₁+z＞z₂+z；
④对于复数z＞0，若z₁＞z₂，则zz₁＞zz₂．
其中所有真命题的个数为（ ）＞＞＞
A．1
B．2
C．3
D．4

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）有最小值．
（1）求实常数a的取值范围；
（2）设g（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=f（x），求g（x）的解析式．

17. 难度：中等

已知△ABC的面积为1，且满足，设和的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数的最小值．

18. 难度：中等

证明下面两个命题：
（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；
（2）余弦定理：如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则a²=b²+c²-2bccosA．

19. 难度：中等

椭圆的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求证：b=c；
（2）设点p（0，-1）在线段AB的垂直平分线上，求椭圆C的方程．

20. 难度：中等

设{a_n}和{b_n}均为无穷数列．
（1）若{a_n}和{b_n}均为等比数列，试研究：{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式．
（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）．