2011-2012学年江苏省南京市学大教育专修学校高三（下）2月月考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={0，2}，B={1，a²}，若A∪B={0，1，2，4}，则实数a=    ．

2. 难度：中等

经过点（2，-1），与向量垂直的直线方程是    ．

3. 难度：中等

已知复数z满足：z²=i，（i是虚数单位），则z=    ．

4. 难度：中等

已知向量，若A、B、C三点共线，则实数m=    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=sinx（sinx-cosx）的周期T=    ．

6. 难度：中等

已知点P（a，b）（a＞b＞0）与椭圆的两个焦点F₁，F₂构成等腰三角形，则椭圆的离心率e=    ．

7. 难度：中等

设α，β为两个不重合的平面，m、n、l是不重合的直线，给出下列命题，其中正确的序号是   
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若n⊂α，m⊂β，α，β相交不垂直，则n与m不垂直；
③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；
④m是平面α的斜线，n是m在平面α内的射影，若l⊥n，则l⊥m．

8. 难度：中等

设点P是曲线y=x²-lnx上的任意一点，则点P到直线y=x-1的最小距离为    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，，则角B=    ．

10. 难度：中等

通项公式为a_n=an²+n的数列{a_n}，若满足a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，且a_n＞a_n+1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=，其中=（2sinωx，-1），，ω＞0，f（x）的图象与直线y=-2的交点的横坐标成公差为π的等差数列．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在△ABC中，A=，b+c=3，F（A）=2，求△ABC的面积．

12. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD中，M是SB的中点，AB∥CD，BC⊥CD，且AB=BC=2，CD=SD=1，又SD⊥面SAB．
（1）证明：CD⊥SD；
（2）证明：CM∥面SAD；
（3）求四棱锥S-ABCD的体积．

13. 难度：中等

如图，设P是圆x²+y²=2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，|PD|=|MD|．点A（0，）、F₁（-1，0）．
（1）设在x轴上存在定点F₂，使|MF₁|+|MF₂|为定值，试求F₂的坐标，并指出定值是多少？
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此时点M的坐标．

14. 难度：中等

如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．
（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；
（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．

15. 难度：中等

将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．

16. 难度：中等

[选做题]已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．