2012年新课标高考数学领航试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设非空集合P、Q满足P⊆Q，则（ ）
A．∀x∈Q，有x∈P
B．∀x∈P，有x∈Q
C．∃x∉Q，使得x∈P
D．∃x∈P，使得x∉Q

2. 难度：中等

函数的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若公比q＞1，且a₂a₈=6，a₄+a₆=5，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面
B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α
C．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l⊥b

5. 难度：中等

直线被圆x²+y²-4y=0所截得的弦长为（ ）
A．1
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A．
B．y=-log₂
C．y=3^x
D．y=x³+

7. 难度：中等

短半轴长为3的椭圆的一个焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±2
B．
C．
D．

10. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

11. 难度：中等

已知e是自然对数底数，若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＜-1
B．a≤-1
C．a＞-1
D．a≥-1

12. 难度：中等

在程序框图中，输入N=40，按程序运行后输出的结果是（ ）

A．100
B．210
C．265
D．320

二、解答题

13. 难度：中等

复数z=（x²-1）+（x-1）i是纯虚数，则实数x=    ．

14. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前5项和S₅=25，且a₇=13，则a₂=    ．

15. 难度：中等

某电视台举办青年歌手电视大奖赛，9位评委为参赛选手甲给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的a）无法看清，若记分员计算无误，则数字a=    ．

16. 难度：中等

下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2，，B=60°．
（I）求c及△ABC的面积S；
（II）求sin（2A+C）．

18. 难度：中等

下表为某体育训练队跳高成绩x与跳远成绩y的分布（每名队员既跳高又跳远），成绩分别为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为3分，跳远成绩为2分的队员为4人．

跳远
5	4	3	2	1
5	1	3	1		1
4	1		2	5	1
3	2	1		4	3
2	1	3	6
1			1	1	3

（I）求该训练队跳高的平均成绩；
（II）现将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x分，跳远成绩为y分．求y=4的概率及x+y≥8的概率．

19. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=2，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求三棱锥E-AB₁F的体积．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若经过点M（2，m）可以作出曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

椭圆C中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）已知直线l（l不垂直于x轴）交椭圆C于P、Q两点，若，求证：点O到直线l的距离是．

22. 难度：中等

如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（I）求AC的长；
（II）求证：BE=EF．

23. 难度：中等

已知直线l的参数方程是（t是参数），圆C的极坐标方程为．
（I）求圆心C的直角坐标；
（II）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

24. 难度：中等

自选题：不等式选讲：已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．
（I）求证：2＜x₁+x₂＜6，|x₁-x₂|＜2；
（II）若f（x）=x²-x+1，求证：|x₁-x₂|＜|f（x₁）-f（x₂）|＜5|x₁-x₂|．