2011-2012学年上海市浦东新区南汇中学高三第一次考试数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={4，5}，则A∩（C_UB）=    ．

2. 难度：中等

（1+i）（1-i）表示为a+bi（a，b∈R），则a+b=    ．

3. 难度：中等

过点A（2，-3），且法向量是的直线的点方向式方程是    ．

4. 难度：中等

若，则x=    ．

5. 难度：中等

以F₁（-3，0）、F₂（3，0）为焦点，渐近线方程为的双曲线的标准方程是    ．

6. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若公差d≠0，且a₂，a₃，a₆成等比数列，则公比q=    ．

7. 难度：中等

已知是平面上两个不共线的向量，向量，．若，则实数m=    ．

8. 难度：中等

点A（3，1）和B（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是    ．

9. 难度：中等

设n∈N^*，（2x+1）ⁿ的展开式各项系数之和为a_n，（3x+1）ⁿ展开式的二项式系数之和为b_n，则=    ．

10. 难度：中等

函数y=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0，（m＞0，n＞0）上，则的最小值是    ．

11. 难度：中等

已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为    ．

12. 难度：中等

一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}是以3为公差的等差数列，S_n是其前n项和，若S₁₀是数列{S_n}中的唯一最小项，则数列{a_n}的首项a₁的取值范围是    ．

14. 难度：中等

若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则答点对（P，Q）是函数y=f（x）的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有    对．

二、选择题

15. 难度：中等

已知实数abc≠0，则“线性方程组有无穷多组解”是“a、b、c成等比数列”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）
A．求数列的前10项和（n∈N^*）
B．求数列的前10项和（n∈N^*）
C．求数列的前11项和（n∈N^*）
D．求数列的前11项和（n∈N^*）

17. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6，动点E、F在棱A₁B₁上，动点P、Q分别在棱AD、CD上，若EF=2，DQ=x，AP=y，则四面体PEFQ的体积（ ）

A．与x，y都无关
B．与x有关，与y无关
C．与x、y都有关
D．与x无关，与y有关

18. 难度：中等

若△ABC的面积，则夹角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

已知关于t的方程t²-2t+a=0一个根为
（1）求方程的另一个根及实数a的值；
（2）若上恒成立，试求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y
（1）建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m³）

21. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-2n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与n²+2011n的大小．

22. 难度：中等

我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=f（x）（x∈D），对任意均满足，当且仅当x=y时等号成立．
（1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
（2）给定两个函数：，f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）．证明：f₁（x）∉M，f₂（x）∈M．
（3）试利用（2）的结论解决下列问题：若实数m、n满足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

23. 难度：中等

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．
（1）若椭圆，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆C_b的方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线y=x与两个“相似椭圆”和分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆M_λ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）