2011-2012学年山西大学附中高三（下）4月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=log（x-3）}，B={x|x²-5x+4＜0}，则A∩B=（ ）
A．∅
B．（3，4）
C．（-2，1）
D．（4．+∞）

2. 难度：中等

已知集合A={-1，0，1}，则（ ）
A．1+i∈A
B．1+i²∈A
C．1+i³∈A
D．1+i⁴∈A

3. 难度：中等

已知命题P：“∀x∈R，x²+2x+3≥0”，则命题P的否定为（ ）
A．∀x∈R，x²+2x+3＜0
B．∃x∈R，x²+2x+3≥0
C．∃x∈R，x²+2x+3＜0
D．∃x∈R，x²+2x+3≤0

4. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

5. 难度：中等

设p：f（x）=x³+2x²+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，函数q：g（x）=x²-4x+3m不存在零点则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（ ）

A．-1
B．1
C．
D．0

7. 难度：中等

某几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．3π
B．4π
C．6π
D．10π

8. 难度：中等

已知向量，且，若变量x，y满足约束条件则z的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x分钟．有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是（ ）

A．680
B．320
C．0.68
D．0.32

10. 难度：中等

设函数的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（ ）
A．f（x）的图象过点（0，）
B．f（x）在[]上是减函数
C．f（x）的一个对称中心是（，0）
D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象

11. 难度：中等

在椭圆中，F₁，F₂分别是其左右焦点，若|PF₁|=2|PF₂|，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的1高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，1）
C．[-2，2]
D．（-2，2）

二、解答题

13. 难度：中等

已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为    ．

14. 难度：中等

在区间[0，9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log₂x≤2的概率为    ．

15. 难度：中等

已知点A（m，n）在直线x+2y-2=0上，则2^m+4ⁿ的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：
①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t-s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0； ④若对∀x∈[-2，2]，k≤f′（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的序号为    ．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：S_n=1-a_n（n∈N^*），其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）试求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：（n∈N^*），试求{b_n}的前n项和公式T_n．

18. 难度：中等

如图（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为AC、AB的中点，将△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．
（1）求证：EF⊥A′C；
（2）求三棱锥F-A′BC的体积．

19. 难度：中等

一口袋中装有编号为1.2.3.4.5.6.7的七个大小相同的小球，现从口袋中一次随机抽取两球，每个球被抽到的概率是相等的，用符号（a，b）表示事件“抽到的两球的编号分别为a，b，且a＜b”．
（Ⅰ）总共有多少个基本事件？用列举法全部列举出来；
（Ⅱ）求所抽取的两个球的编号之和大于6且小于10的概率．

20. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；
②已知点，求证：为定值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²-x+2．（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若对∀x∈R，有成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若，求EC的长．

23. 难度：中等

已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≤2有解，求a的取值范围．