2012年四川省成都市石室中学高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合U={x|0≤x≤6，x∈Z}，A={1，3，6}，B={1，4，5}则A∩（C_UB）=（ ）
A．{1}
B．{3，6}
C．{4，5}
D．{1，3，4，5，6}

2. 难度：中等

下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

展开式中不含x⁴项的系数的和为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

4. 难度：中等

已知函数，则的值是（ ）
A．9
B．-9
C．
D．

5. 难度：中等

若函数f（x）=log_ax（其中a＞0，a≠1）满足f（5）=2，则f^-1（2log₅2）的值为（ ）
A．log₅2
B．log₂5
C．4
D．2

6. 难度：中等

将4名新转来的同学全部分配到高三（1）、（2）、（3）三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到高三（1）班，那么不同的分配方案有（ ）
A．12种
B．18种
C．24种
D．30种

7. 难度：中等

设{a_n}，{b_n}分别为等差数列与等比数列，且a₁=b₁=4，a₄=b₄=1，则以下结论正确的是（ ）
A．a₂＞b₂
B．a₃＜b₃
C．a₅＞b₅
D．a₆＞b₆

8. 难度：中等

把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A．，x∈R
B．，x∈R
C．，x∈R
D．，x∈R

9. 难度：中等

设、、为同平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，，，则的值一定等于（ ）
A．以、为两边的三角形面积
B．以、为邻边的平行四边形的面积
C．以、为两边的三角形面积
D．以、为邻边的平行四边形的面积

10. 难度：中等

已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：
①r是q的充要条件；
②p是q的充分条件而不是必要条件；
③r是q的必要条件而不是充分条件；
④┐p是┑s的必要条件而不是充分条件；
⑤r是s的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是（ ）
A．①④⑤
B．①②④
C．②③⑤
D．②④⑤

11. 难度：中等

某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）
A．y=[]
B．y=[]
C．y=[]
D．y=[]

12. 难度：中等

如图在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

设函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），且函数y=x-f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f^-1（x）-x的图象一定过点    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x²+2xf′（2），则f′（5）=    ．

15. 难度：中等

将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC对折成120°的二面角，则B、D在四面体A-BCD的外接球球面上的距离为    ．

16. 难度：中等

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：
（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）当x∈（1，2]时f（x）=2-x给出结论如下：
①任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k-1）．
其中所有正确结论的序号是    

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）求2sin²A+cos（A-C）的范围．

18. 难度：中等

某校2012年推优班报名正在进行，甲、乙、丙、丁四名学生跃跃欲试，现有四门学科（数学、物理、化学、信息技术）可供选择，每位学生只能任选其中一科．
（1）求恰有两门学科被选择的概率；
（2）已知报名后，丁已指定被录取．另外甲被录取的概率为，乙被录取的概率为，丙被录取的概率为．求甲、乙、丙三人中至少有两人被录取的概率．

19. 难度：中等

如图，五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1，AE⊥平面ABC，CD∥AE，且CD=AE．
（I）设CE与平面ABE所成的角为α，AE=k（k＞0），若，求k的取值范围；
（Ⅱ）在（I）和条件下，当k取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小．

20. 难度：中等

设数列{a_n}满足：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n²a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是的f（x）的导函数．
（Ⅰ）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）设a=-m²，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，，且（n=2，3，4，…）．
（1）求a₃、a₄的值；
（2）设（n∈N^*），试用b_n表示b_n+1并求{a_n}的通项公式；
（3）求证：对一切n∈N^*且n≥2，有．