2012年江苏省常州中学高考冲刺复习单元卷：函数（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

2. 难度：中等

设，则，=    ．

3. 难度：中等

已知f（2^x）的定义域为[0，2]，则f（log₂x）的定义域为    ．

4. 难度：中等

若a=2^0.5，b=log₅3，c=log₂sin，则a、b、c从大到小的顺序是    ．

5. 难度：中等

若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式f（x）=    ．

6. 难度：中等

若不等式|3x-b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围     ．

7. 难度：中等

定义运算法则如下：a，则M+N=    ．

8. 难度：中等

设0＜a＜1，函数f（x）=log_a（a^2x-2a^x-2），则使f（x）＜0的x的取值范围是    ．

二、选择题

9. 难度：中等

设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是 （ ）
A．b＜0且c＞0
B．b＞0且c＜0
C．b＜0且c=0
D．b＞0 且c=0

三、解答题

10. 难度：中等

已知函数y=xf'（x）的图象如右图所示（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是   

11. 难度：中等

设方程2lnx=7-2x的解为x，则关于x的不等式x-2＜x的最大整数解为     ．

12. 难度：中等

若关于x的不等式x²＜2-|x-a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设，则对任意实数a，b，“a+b≥0”是“f（a）+f（b）≥0”的    条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一）

14. 难度：中等

a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a．如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，则a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有两个相等的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[3m，3n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

16. 难度：中等

某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）
（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

17. 难度：中等

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1（x∈R，t＞0）．
（I）求f （x）的最小值h（t）；
（II）若h（t）＜-2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x-．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到y=g（x）的图象．求函数y=g（x）的解析式；
（3）若函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称，求函数y=h（x）的解析式；
（4）设y=h（x）的最大值是m，且m＞2-，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f'（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：．

20. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①f（1）=3；②f（x）≥2对一切x∈[0，1]恒成立；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）试比较与的大小；
（Ⅲ）某同学发现：当（n∈N）时，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．