2012年四川省成都市石室中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1+i，则=（ ）
A．
B．
C．i
D．-i

2. 难度：中等

下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

展开式中不含x⁴项的系数的和为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

4. 难度：中等

若函数f（x）=log_ax（其中a＞0，a≠1）满足f（5）=2，则f^-1（2log₅2）的值为（ ）
A．log₅2
B．log₂5
C．4
D．2

5. 难度：中等

将4名新转来的同学全部分配到高三（1）、（2）、（3）三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到高三（1）班，那么不同的分配方案有（ ）
A．12种
B．18种
C．24种
D．30种

6. 难度：中等

设{a_n}，{b_n}分别为等差数列与等比数列，且a₁=b₁=4，a₄=b₄=1，则以下结论正确的是（ ）
A．a₂＞b₂
B．a₃＜b₃
C．a₅＞b₅
D．a₆＞b₆

7. 难度：中等

已知函数f（x）=cos（x+θ），θ∈R，若=1，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=-sin
B．f（x）=-cos
C．f（x）=sin
D．f（x）=cos

8. 难度：中等

设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），在某项测量中，已知P（|ξ|＜1.96）=0.950，则ξ在（-∞，1.96）内取值的概率为（ ）
A．0.025
B．0.050
C．0.950
D．0.975

9. 难度：中等

设、、为同平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，，，则的值一定等于（ ）
A．以、为两边的三角形面积
B．以、为邻边的平行四边形的面积
C．以、为两边的三角形面积
D．以、为邻边的平行四边形的面积

10. 难度：中等

已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：
①r是q的充要条件；
②p是q的充分条件而不是必要条件；
③r是q的必要条件而不是充分条件；
④┐p是┑s的必要条件而不是充分条件；
⑤r是s的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是（ ）
A．①④⑤
B．①②④
C．②③⑤
D．②④⑤

11. 难度：中等

某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）
A．y=[]
B．y=[]
C．y=[]
D．y=[]

12. 难度：中等

如图在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

设函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），且函数y=x-f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f^-1（x）-x的图象一定过点    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x²+2xf′（2），则f′（5）=    ．

15. 难度：中等

将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC对折成120°的二面角，则B、D在四面体A-BCD的外接球球面上的距离为    ．

16. 难度：中等

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：
（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）当x∈（1，2]时f（x）=2-x给出结论如下：
①任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k-1）．
其中所有正确结论的序号是    

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）求2sin²A+cos（A-C）的范围．

18. 难度：中等

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
（Ⅰ）求该学生考上大学的概率．
（Ⅱ）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1，AE⊥平面ABC，CD∥AE，且CD=AE．
（I）设CE与平面ABE所成的角为α，AE=k（k＞0），若，求k的取值范围；
（Ⅱ）在（I）和条件下，当k取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小．

20. 难度：中等

设数列{a_n}满足：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n²a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

已知函数
（1）试判断函数f（x）的单调性；
（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）试证明：对∀n∈N^*，不等式．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，，且（n=2，3，4，…）．
（1）求a₃、a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式
（3）求证：对一切n∈N^*且n≥2，有．

23. 难度：中等

已知函数
（1）f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（2）当m=-1时，求函数f（x）的最大值；
（3）当m=1时，且1≥a＞b≥0，证明：．