2011-2012学年上海市华东师大一附中高三（下）开学数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若集合A={1，2，3，4}，B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

若复数（i为虚数单位）为实数，则实数m=    ．

3. 难度：中等

已知a＞0，且函数y=1-2sin²（ax）的最小正周期为π，则a=    ．

4. 难度：中等

在二项式（x²-）⁵的展开式中，含x⁴的项的系数是    ．

5. 难度：中等

若直线l：y=kx与曲线（参数θ∈R）有唯一的公共点，则实数k=    ．

6. 难度：中等

（文）若直线l：y=kx与圆C：（x-2）²+y²=1有唯一的公共点，则实数k=    ．

7. 难度：中等

已知函数的反函数为f^-1（x），若f^-1（x）＞0，则x的取值范围为    ．

8. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是    ．

9. 难度：中等

若数列{a_n}满足，则=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，AC=2，D是BC的中点，则=    ．

11. 难度：中等

高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为     ．

12. 难度：中等

（理）已知数列{a_n}的通项公式为，集合，B={y|y=4m+1，m∈N^*}．现在集合A中随机取一个元素y，则y∈B的概率为    ．

13. 难度：中等

（文）已知数列{a_n}的通项公式为，集合，B={y|y=4m+1，m∈N^*}．现在集合A中随机取一个元素y，则y∈B的概率为    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx-y+1=0与圆C：x²+y²=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k=    ．

15. 难度：中等

对于问题：“已知关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），解关于x的不等式ax²-bx+c＞0”，给出如下一种解法：【解析】
由ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），得a（-x）²+b（-x）+c＞0的解集为（-2，1），即关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（-2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为    ．

16. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4}，函数f（x）的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f（i）≠i．设a₁，a₂，a₃，a₄是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为    ．

二、选择题

17. 难度：中等

已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

18. 难度：中等

已知点A_n（n，a_n）（n∈N^*）都在函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象上，则a₃+a₇与2a₅的大小关系是（ ）
A．a₃+a₇＞2a₅
B．a₃+a₇＜2a₅
C．a₃+a₇=2a₅
D．a₃+a₇与2a₅的大小与a有关

19. 难度：中等

（理）若已知曲线C₁方程为，圆C₂方程为（x-3）²+y²=1，斜率为k（k＞0）直线l与圆C₂相切，切点为A，直线l与曲线C₁相交于点B，，则直线AB的斜率为（ ）
A．1
B．
C．
D．

20. 难度：中等

如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是（ ）

A．
B．12
C．
D．8

21. 难度：中等

已知函数的图象关于点P对称，且函数y=f（x+1）-1为奇函数，则下列结论：
（1）点P的坐标为（1，1）；
（2）当x∈（-∞，0）时，g（x）＞0恒成立；
（3）关于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有两个实根．
其中正确结论的题号为（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（1）（3）
D．（1）（2）（3）

三、解答题

22. 难度：中等

（理）如图，已知矩形ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直，，
AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：CM∥平面BDF；
（2）求二面角A-DB-F的大小．

23. 难度：中等

（文）如图，已知矩形ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直，，
AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求异面直线CM与直线AB所成的角的大小；
（2）求多面体EFABCD的表面积．

24. 难度：中等

在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=10，且
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积．

25. 难度：中等

如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

26. 难度：中等

已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若，，证明：λ+μ为定值．

27. 难度：中等

设函数f（x）=（x＞0），数列{a_n}满足（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a₁为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N^*）的数列，k∈N^*，使得数列中每一项都是数列{a_n}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{n_k}的通项公式；若不存在，说明理由．