2012年上海市奉贤区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

不等式的解集是      （用区间表示）．

2. 难度：中等

函数y=cos²2x-sin²2x的最小正周期是    ．

3. 难度：中等

过点（3，2）且一个法向量为的直线的点法向式方程为    ．

4. 难度：中等

集合A=（1，2]，集合B={x|x＜a}，满足A⊊B，则实数a的范围是    ．

5. 难度：中等

设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是    ．

6. 难度：中等

设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为    ．

7. 难度：中等

已知无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，则公比q=    ．

8. 难度：中等

函数y=lg（x²+1），x≥0的反函数是    ．

9. 难度：中等

若，，且与垂直，则向量与的夹角大小为    ．

10. 难度：中等

函数的单调递增区间    ．

11. 难度：中等

如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是    ．

12. 难度：中等

有这么一个数学问题：“已知奇函数f（x）的定义域是一切实数R，且f（m）=2，f（m²-2）=-2，求m的值”．请问m的值能否求出，若行，请求出m的值；若不行请说明理由（只需说理由）．    ．

13. 难度：中等

对于数列{a_n}，如果存在最小的一个常数T（T∈N^*），使得对任意的正整数恒有a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}是周期为T的周期数列．设m=qT+r，（m，q，T，r∈N^*），数列前m，T，r项的和分别记为S_m，S_T，S_r，则S_m，S_T，S_r三者的关系式    ．

14. 难度：中等

设函数，则方程有    个实数根．

二、选择题

15. 难度：中等

复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

16. 难度：中等

若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．a²+b²＞2ab
B．
C．
D．

17. 难度：中等

下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A．f（x）=3x-1
B．f（x）=x³
C．f（x）=|x|
D．f（x）=ln

18. 难度：中等

将两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，另一个顶点（2p，0），这样的正三角形有（ ）
A．0个
B．2个
C．4个
D．1个

三、解答题

19. 难度：中等

已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，向量，，∥，求∠A的大小．

20. 难度：中等

关于x的不等式的解集为（-1，2）．
（1）求实数m的值；
（2）若实系数一元二次方程x²+mx+n=0的一个根，求n．

21. 难度：中等

已知直角坐标平面内点F₁（-2，0），F₂（2，0），一曲线C经过点P，且．
（1）求曲线C的方程；
（2）设A（1，0），若，求点P的横坐标的取值范围．

22. 难度：中等

函数，定义f（x）的第k阶阶梯函数，其中k∈N^*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点P_k（a_k，b_k），最低点Q_k（c_k，d_k）．
（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；
（2）求证：所有的点P_k在某条直线L上．
（3）求证：点Q_k到（2）中的直线L的距离是一个定值．

23. 难度：中等

出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如（x，y）的有序实数对，直线还是满足ax+by+c=0的所有（x，y）组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，请解决以下问题：
（1）求线段x+y=2（x≥0，y≥0）上一点M（x，y）的距离到原点O（0，0）的“距离”；
（2）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为 r的“圆”方程；
（3）点A（1，3）、B（6，9），写出线段AB的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象．（说明所给图形小正方形的单位是1）

24. 难度：中等

正数列{a_n}的前n项和S_n满足：rS_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0，常数r∈N．
（1）求证：a_n+2-a_n是一个定值；
（2）若数列{a_n}是一个周期数列，求该数列的周期；
（3）若数列{a_n}是一个有理数等差数列，求S_n．