2012年全国高考数学领航试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合M={x|x²+ax≤0}，C_UM={x|x＞b，或x＜0}，则a+b=（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．0

2. 难度：中等

已知是纯虚数（其中i是虚数单位），若θ∈[0，2π），则θ=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别是X_甲、X_乙，则下列结论正确的是（ ）

A．X_甲＞X_乙，甲比乙成绩稳定
B．X_甲＞X_乙，乙比甲成绩稳定
C．X_甲＜X_乙，甲比乙成绩稳定
D．X_甲＜X_乙，乙比甲成绩稳定

4. 难度：中等

在（-）⁵的展开式中的系数等于（ ）
A．-10
B．10
C．-20
D．20

5. 难度：中等

若几何体的三视图如图所示，该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）

A．2π
B．4π
C．5π
D．6π

6. 难度：中等

在△ABC中，三边之比a：b：c=2：3：4，则=（ ）
A．1
B．2
C．-2
D．

7. 难度：中等

分别在区间[0，1]和[0，2]内任取一个实数，依次记为m和n，则m²＜n的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设抛物线y²=4x上一点P到此抛物线准线的距离为d₁，到直线3x+4y+12=0的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．4

9. 难度：中等

设，若x∈R，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1

10. 难度：中等

将4名新转来的同学全部分配到高三（1）、（2）、（3）三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到高三（1）班，那么不同的分配方案有（ ）
A．12种
B．18种
C．24种
D．30种

11. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，若n∈N^*，（n+1）S_n＜nS_n+1，且，则在数列{S_n}中（ ）
A．最大值是S₈
B．最小值是S₈
C．最大值是S₇
D．最小值是S₇

12. 难度：中等

规定[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3.1]=3，[-2.6]=-3，[-2]=-2；若f′（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）•f′（x），则函数y=[g（x）]+[g（-x）]的值域是（ ）
A．{-1，0}
B．{0，1}
C．{0}
D．{偶数}

二、解答题

13. 难度：中等

空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，直线l与这三条直线所成的角都为α，则tanα=    ．

14. 难度：中等

执行如图所示的程序，若P=0.9，则输出的n值是    ．

15. 难度：中等

双曲线的两个焦点为F₁、F₂，点P在该双曲线上，若，则=    ．

16. 难度：中等

设点P是△ABC内一点（不包括边界），且，m、n∈R，则m²+（n-2）²的取值范围是    ．

17. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中的概率都是，每次命中与否互相独立．
（Ⅰ）求恰好射击5次引爆油罐的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．

19. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成角为θ，点B₁在底面上射影D落在BC上．
（I）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（II）若点D恰为BC中点，且AB₁⊥BC₁，求θ的大小；
（III）若，且当AC=BC=AA₁=a时，求二面角C-AB-C₁的大小．

20. 难度：中等

已知椭圆C₁：（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）直线l₁过椭圆C₁的左焦点F₁，且与x轴垂直，动直线l₂垂直于直线l₂，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（III）设C₂上的两个不同点R、S满足，求的取值范围（O为坐标原点）．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x-6）+alnx在x∈（2，+∞）上不具有单调性．
（I）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f'（x）是f（x）的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数x₁、x₂，不等式恒成立．

22. 难度：中等

如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．
（I）求∠ADF的度数；
（II）若AB=AC，求AC：BC．

23. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．
（I）将曲线C的参数方程转化为普通方程；
（II）若直线l与曲线C相交于A、B两点，试求线段AB的长．

24. 难度：中等

选修4-5；不等式选讲
已知不等式|x+1|+|x-2|≥m的解集是R．
（I）求实数m的取值范围：
（II）在（1）的条件下，当实数m取得最大值时，试判断是否成立？并证明你的结论．