2012年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-x-2＞0，x∈R}，B=（0，+∞），则（C_UA）∩B=    ．

2. 难度：中等

函数f（x）=的定义域是    ．

3. 难度：中等

（x-）¹¹的二项展开式中含x的项是    （x的系数用数值表示）．

4. 难度：中等

不等式|x-1|+＞x-1+的解集是    ．

5. 难度：中等

关于z的方程=1+2i（i是虚数单位）的解是z=    ．

6. 难度：中等

函数y=3^-|x-2|的单调增区间是    ．

7. 难度：中等

无穷等比数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和是S_n，且S_n=2，则首项a₁的取值范围是    ．

8. 难度：中等

若0＜α＜＜β＜π，sinα=，sin（α+β）=，则cosβ=    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f（）=    ．

10. 难度：中等

一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果是    ．

11. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AB=BC=AC=4，AA₁=2，如图所示，则异面直线AB₁与BC₁所成的角是    （结果用反三角函数值表示）．

12. 难度：中等

已知点A（-1，1），B（2，-2），若直线l：x+my+m=0与线段AB相交（包含端点的情况），则实数M的取值范围是    ．

13. 难度：中等

一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个（共16个），经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，则至少得到1个白球的概率是    （用数值作答）．

14. 难度：中等

（理科）已知函数f（x）=，M是非零常数，关于X的方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，若b、a分别是三个根中的最小根和最大根，则=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若x，y∈R，且xy＞0，则下列不等式中能恒成立的是（ ）
A．
B．x+y
C．
D．

16. 难度：中等

圆x²+y²+ax+by=0与直线ax+by=0（a²+b²≠0）的位置关系是（ ）
A．直线与圆相交但不过圆心
B．相切
C．直线与圆相交且过圆心
D．相离

17. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（）（a为常数）是奇函数，则f（x）的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

现给出如下命题：
（1）若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则直线l∥平面α；
（2）“平面β上有四个不共线的点到平面α的距离相等”的充要条件是“平面β∥平面α”；
（3）若一个球的表面积是108π，则它的体积；
（4）若从总体中随机抽取的样本为-2，3，-1，1，1，4，3，3，0，-1，则该总体均值的点估计值是0.9．
则其中正确命题的序号是（ ）
A．（1）、（2）、（3）
B．（1）、（2）、（4）
C．（3）、（4）
D．（2）、（3）

三、解答题

19. 难度：中等

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥AB，侧面SAB为正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2．如图所示．
（1）证明：SD⊥平面SAB；
（2）求四棱锥S-ABCD的体积V_S-ABCD．

20. 难度：中等

要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素¹⁴C的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的¹⁴C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，¹⁴C不再产生，且原有的¹⁴C含量的衰变经过5570年（¹⁴C的半衰期），它的残余量只有原始量的一半．若¹⁴C的原始含量为a，则经过x年后的残余量a′与a之间满足a′=a•e^-kx．
（1）求实数k的值；
（2）测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中¹⁴C的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）．

21. 难度：中等

已知两点A（-1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点Q（x，）满足．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且满足，又点H关于原点O的对称点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=2．
（1）试说明函数f（x）的图象是由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到的；
（2）若函数g（x）=，试判断函数g（x）的奇偶性，并用反证法证明函数g（x）的最小正周期是；
（3）求函数g（x）的单调区间和值域．

23. 难度：中等

已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=-6a，，．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）若{c_n}满足c₁=1，c₂=5，，试用数学归纳法证明：．