2012年上海市卢湾区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

不等式x²+x+1＜0的解集为    ．

2. 难度：中等

若，则cos2α=    ．

3. 难度：中等

函数（x＞0）的反函数为    ．

4. 难度：中等

若集合A={x|0≤x≤5，x∈Z}，B={x|}，则A∩B=    （用列举法表示）．

5. 难度：中等

若函数f（x）=ax+b的零点为x=2，则函数g（x）=bx²-ax的零点是x=0和x=    ．

6. 难度：中等

已知二元一次方程组，若记，，，则该方程组存在唯一解的条件为    （用、、表示）．

7. 难度：中等

若（1+ax）⁵=1+10x+bx²+…+a⁵x⁵，则b=    ．

8. 难度：中等

若常数b满足|b|＞1，则=    ．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}，若a₁=14，（n∈N^*），则使a_n•a_n+2＜0成立的n的值是    ．

10. 难度：中等

甲、乙、丙三人同在某公司上班，若该公司规定，每位职工可以在每周七天中任选两天休息（如选定星期一、星期三），以后不再改动，则他们选定的两个休息日相同的概率是    （结果用数值表示）．

11. 难度：中等

已知甲射手射中目标的概率为80%，乙射手射中目标的概率为70%．若甲乙两射手的射击相互独立，则甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为    （结果用数值表示）．

12. 难度：中等

为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如下，由于不幸将部分数据丢失，但知道前4组的频率成等比数列，后6组的频率成等差数列，设最大的频率为a，视力在4.6到达5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为    、    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=ab^x+c（b＞0，b≠1），x∈[0，+∞），若其值域为[-2，3），则该函数的一个解析式可以为f（x）=    ．

14. 难度：中等

若对于满足-1≤t≤3的一切实数t，不等式x²-（t²+t-3）x+t²（t-3）＞0恒成立，则x的取值范围为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

在复平面内，复数Z=i（1+i）（i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

16. 难度：中等

“α=2kπ+β（k∈Z）”是“tanα=tanβ”成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

17. 难度：中等

若函数f（x）同时满足下列三个条件：①有反函数 ②是奇函数 ③其定义域与值域相同，则函数f（x）可以是（ ）
A．f（x）=sinx（）
B．f（x）=
C．f（x）=-x³
D．f（x）=ln

18. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²-1|，若0＜x＜y，且f（x）=f（y），则（ ）
A．y=（0＜x＜）
B．（0＜x＜2）
C．（0＜x＜）
D．（0＜x＜1）

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bcosC，b+c=3a．求sinA的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）若h（x）=f（x）+b（b为常数），试讨论函数h（x）的奇偶性．

21. 难度：中等

已知、是两个不共线的非零向量．
（1）设，（t∈R），，当A、B、C三点共线时，求t的值．
（2）如图，若，，与夹角为120°，||=||=1，点P是以O为圆心的圆弧上一动点，设（x，y∈R），求x+y的最大值．

22. 难度：中等

已知数列{b_n}，若存在正整数T，对一切n∈N^*都有b_n+r=b_n，则称数列{b_n}为周期数列，T是它的一个周期．例如：
数列a，a，a，a，…①可看作周期为1的数列；
数列a，b，a，b，…②可看作周期为2的数列；
数列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期为3的数列…
（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是，试再写出该数列的一个通项公式；
（2）求数列③的前n项和S_n；
（3）在数列③中，若a=2，b=，c=-1，且它有一个形如b_n=Asin（ωn+φ）+B的通项公式，其中A、B、ω、φ均为实数，A＞0，ω＞0，|φ|＜，求该数列的一个通项公式b_n．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=（t为常数）．
（1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
（2）设a_n=f（n）（n∈N^*），当t＞10，且t∉N^*时，试判断数列{a_n}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．
（3）利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述构造过程中，若x_i（i∈N^*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．若取定义域中的任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求实数t的值．