2012年上海市静安区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设i为虚数单位，若复数（1+i）²-（b∈R）的实部与虚部相等，则实数b的值为    ．

2. 难度：中等

函数的定义域为    ．

3. 难度：中等

若二项式的展开式中，x⁹的系数为-，则常数a的值为    ．

4. 难度：中等

若关于x的一元二次方程x²-2x+lg（2a²-a）=0两根异号，则实数a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

若a＜0，则关于x的不等式组的解集为    ．

6. 难度：中等

有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书3本，文学书2本．若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有    种．（结果用数值表示）

7. 难度：中等

函数f（x）=在闭区间[-]上的最小值为    ．

8. 难度：中等

已知向量、的夹角为150°，||=1，||=3，则||=    ．

9. 难度：中等

已知圆锥侧面积为2πcm²，高为cm，则该圆锥底面周长为    cm．

10. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前10项之和为30，前20项之和为100，则a₃+a₂₈=    ．

11. 难度：中等

已知α为锐角，β为钝角，，，则cos2（α-β）的值为    ．

12. 难度：中等

从5名男生和5名女生中选取4人参加比赛，要求男女生都有，那么两女生小张和小李同时被选中的概率为    ．

13. 难度：中等

记min{a，b}=，已知函数f（x）=min{x²+2tx+t²-1，x²-4x+3}是偶函数（t为实常数），则函数y=f（x）的零点为    ．（写出所有零点）

14. 难度：中等

已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|+|x-a|的图象关于垂直于x轴的直线对称，则a的取值集合是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

下列命题中正确的命题是（ ）
A．若，，则（b_n≠0，n∈N^*）
B．若数列{a_n}，{b_n}的极限都不存在，则{a_n+b_n}的极限也不存在
C．若数列{a_n}，{a_n+b_n}的极限都存在，则{b_n}的极限也存在
D．设S_n=a₁+a₂+…a_n，若数列{a_n}的极限存在，则数列{S_n}的极限也存在

16. 难度：中等

若A、B为锐角△ABC的两内角，则点P（sinB-cosA，cosB-sinA）是（ ）
A．第一象限的点
B．第二象限的点
C．第三象限的点
D．第四象限的点

17. 难度：中等

若a、b、c都是复数，则“a²+b²＞c²”是“a²+b²-c²＞0”的（ ）
A．充要条件
B．既非充分条件又非必要条件
C．充分而非必要条件
D．必要而非充分条件

18. 难度：中等

若，则x，y满足的条件是（ ）
A．x=y且x＞0
B．x=y且x≠0或x=-y且x≠0
C．x≠y且x≠0，y≠0
D．x=y且x＜0

三、解答题

19. 难度：中等

（1）已知a、b为正实数，a≠b，x＞0，y＞0．试比较与的大小，并指出两式相等的条件；
（2）求函数f（x）=，x的最小值．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．
求：
（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
（2）四棱锥P-ABCD的体积．

21. 难度：中等

某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元．全部投资都从银行贷款．从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元．这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足．地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长．求：
（1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？
（2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？
（精确到元，1亿=1×10⁸）

22. 难度：中等

已知a＞0且a≠1，数列{a_n}是首项与公比均为a的等比数列，数列{b_n}满足b_n=a_n•lga_n（n∈N^*）．
（1）若a=2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若对于n∈N^*，总有b_n＜b_n+1，求a的取值范围．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax+3-a，a∈R．
（1）求a的取值范围，使y=f（x）在闭区间[-1，3]上是单调函数；
（2）当0≤x≤2时，函数y=f（x）的最小值是关于a的函数m（a）．求m（a）的最大值及其相应的a值；
（3）对于a∈R，研究函数y=f（x）的图象与函数y=|x²-2x-3|的图象公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论．