2012年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数y=log₂（x-m）+1的反函数的图象经过点（1，3），则实数m=    ．

二、填空题

2. 难度：中等

若全集U={x||x-1|＜3，x∈Z}，A={1，2，3}，C_UB={-1，3}，则A∩B    ．

三、解答题

3. 难度：中等

从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、122、123、126，则该样本方差s²=    ．

4. 难度：中等

已知，则的值为    ．

5. 难度：中等

根据如图所示的程序框图，输出结果i=    ．

6. 难度：中等

投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数z=（m+ni）（n-4m）（i是虚数单位）为实数的概率为    ．（结果用最简分数表示）

7. 难度：中等

若的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x⁴项的系数为    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-1的定义域为D，值域为{-1，0，1，3}，试确定这样的集合D最多有    个．

9. 难度：中等

已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量=（a，b），=（b-2，a-2），若⊥，边长c=2，角C=，则△ABC的面积是    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=log_ax+x-b（a＞0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x∈（n，n+1），n∈N^*，则n=    ．

11. 难度：中等

已知各项为正数的等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m、a_n使得，则+的最小值为    ．

12. 难度：中等

如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n，则m+n的值为    ．

13. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=．若函数g（x）=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）在区间（-2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

如图所示：矩形A_nB_nP_nQ_n的一边A_nB_n在x轴上，另两个顶点P_n，Q_n在函数f（x）=（x＞0）的图象上（其中点B_n的坐标为（n，0）（n≥2，n∈N^*），矩形A_nB_nP_nQ_n的面积记为S_n，则=    ．

四、选择题

15. 难度：中等

若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误 的是（ ）

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．△AEF与△BEF的面积相等

18. 难度：中等

由9个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃、a₂₁+a₂₂+a₂₃、a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列，下列四个判断正确的有（ ）
①第2列a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列；       
②第1列a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列；
③a₁₂+a₃₂＞a₂₁+a₂₃；
④若9个数之和等于9，则a₂₂＜1．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

五、解答题

19. 难度：中等

已知复数z₁=，z₂=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若复数z₁-z₂在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z₁是实系数一元二次方程x²-6x+m=0的根，求实数m值．

20. 难度：中等

如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D，E分别是BC，AP的中点．
（1）求异面直线AC与ED所成的角的大小；
（2）求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．

21. 难度：中等

为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：y=x²-200x+40000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？

22. 难度：中等

设a∈R，把三阶行列式中第一行第二列元素的余子式记为f（x），且关于x的不等式f（x）＜0的解集为
（-2，0）．各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，点列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若（k＞0），求的值；
（3）令，求数列{c_n}的前2012项中满足c_m=6的所有项数之和．

23. 难度：中等

对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．
（1）求证：函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切的x∈R恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=mx+是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．