2011-2012学年上海市十三校高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知n∈N^*，则=    ．

2. 难度：中等

如图，U是全集，A⊆U，B⊆U，用集合运算符号表示图中阴影部分的集合是    ．

3. 难度：中等

函数的最小正周期是    ．

4. 难度：中等

若2+i是方程x²+bx+c=0（b、c∈R）的根，其中i是虚数单位，则b+c=    ．

5. 难度：中等

若函数f（x）=log_1-2ax在（0，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是    ．

6. 难度：中等

图中是一个算法流程图，则输出的正整数n的值是    ．

7. 难度：中等

设函数的反函数为y=f^-1（x），若f^-1（a）≥4，则实数a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

对于任意的实数k，如果关于x的方程f（x）=k最多有2个不同的实数解，则|f（x）|=m（m为实常数）的不同的实数解的个数最多为    ．

9. 难度：中等

设函数的零点，则n=    ．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和，若a_k+a_k+1＞12，则正整数k的最小值为    ．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为    ．

12. 难度：中等

设不等式x²-1＜log_ax（a＞0，且a≠1）的解集为M，若（1，2）⊆M，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x+arctanx，数列{a_n}满足，则f（a₂₀₁₂）=    ．

14. 难度：中等

设是平面内互不平行的三个向量，x∈R，有下列命题：
①方程不可能有两个不同的实数解；
②方程有实数解的充要条件是；
③方程有唯一的实数解；
④方程没有实数解．
其中真命题有    ．（写出所有真命题的序号）

二、选择题

15. 难度：中等

已知a∈R，不等式的解集为P，且-2∉P，则a的取值范围是（ ）
A．a＞-3
B．-3＜a＜2
C．a＞2或a＜-3
D．a≥2或a＜-3

16. 难度：中等

设角，则“”是“（1+tanα）（1+tanβ）=2”成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

17. 难度：中等

对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（ ）
A．1
B．-1
C．0
D．i

18. 难度：中等

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的对应过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上（线段AB）的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上；点A的坐标为（0，1）（如图3），当点M从A到B是逆时针运动时，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），按此对应法则确定的函数使得m与n对应，即
f（m）=n．

对于这个函数y=f（x），有下列命题：
①；  ②f（x）的图象关于对称；  ③若，则；  ④f（x）在（0，1）上单调递增．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

三、解答题

19. 难度：中等

已知矩阵的某个列向量的模不大于行列式中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围．

20. 难度：中等

为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表．已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过10⁸时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%．

天数t	1	2	3	4	5	6	7	…
癌细胞个数N	1	2	4	8	16	32	64	…

（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？（精确到1天）
（2）若在第10天，第20天，第30天，…给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由．

21. 难度：中等

已知．
（1）若是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）在上是增函数，求ω的最大值；并求此时g（x）在[0，π]上的取值范围．

22. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列（如：在a₁与a₂之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d₂，…以此类推），设第n个等差数列的和是A_n．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

23. 难度：中等

已知函数，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2^m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k²，b=（k+c）²时，记f（x）=f₁（x）；当a=（k+c）²，b=（k+2c）²时，记f（x）=f₂（x）．
求证：．