2012年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

计算：=    ．

2. 难度：中等

不等式的解集是    ．

3. 难度：中等

若全集U=R，函数y=3^x-1的值域为集合A，则C_UA=    ．

4. 难度：中等

（文）已知圆锥的母线长l=5cm，高h=4cm，则该圆锥的体积是    cm³．

5. 难度：中等

在的展开式中，x²的系数为     （用数字作答）．

6. 难度：中等

已知f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x²，则f（7）=    ．

7. 难度：中等

若行列式=1，则x=    ．

8. 难度：中等

在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是    ．（结果精确到0.01）

9. 难度：中等

某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是    ．

10. 难度：中等

某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是    ．

11. 难度：中等

若直线l：ax+by=1与圆C：x²+y²=1有两个不同的交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是    ．

12. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=的反函数为y=f^-1（x），若关于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

若椭圆（a＞b＞1）内有圆x²+y²=1，该圆的切线与椭圆交于A，B两点，且满足（其中O为坐标原点），则9a²+16b²的最小值是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（ ）
A．f（x）=10^|x|
B．f（x）=x³
C．f（x）=lg
D．f（x）=cos

16. 难度：中等

若等比数列{a_n}前n项和为，则复数z=在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

17. 难度：中等

已知函数f（x）=，则“c=-1”是“函数f（x）在R上递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

18. 难度：中等

若F₁，F₂分别为双曲线C：的左、右焦点，点A在双曲线C上，点M的坐标为（2，0），AM为∠F₁AF₂的平分线．则|AF₂|的值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．27

三、解答题

19. 难度：中等

已知在正四棱锥P-ABCD中（如图），高为1cm，其体积为4cm³，求异面直线PA与CD所成角的大小．

20. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b-c）cosA-acosC=0，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，，试判断△ABC的形状，并说明理由．

21. 难度：中等

若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”．
（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；
①f（x）=x³         ②f（x）=2^x
（2）已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：数列{是等差数列．
（3）设数列{b_n}满足b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若对一切n∈N^*成立，求最小正整数m的值．

23. 难度：中等

已知△ABC的三个顶点在抛物线：x²=y上运动．
（1）求的焦点坐标；
（2）若点A在坐标原点，且∠BAC=，点M在BC上，且，求点M的轨迹方程；
（3）试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由．