2012年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U为实数集R，M={x|x²＞4}与N={x|1＜x≤3}，则N∩（C_UM）=（ ）
A．{x|x＜2}
B．{x|-2≤x＜1}
C．{x|-2≤x≤2}
D．{x|1＜x≤2}

2. 难度：中等

i是虚数单位，复数=（ ）
A．0
B．-i
C．i
D．-1

3. 难度：中等

连续抛两枚骰子分别得到的点数是a，b，则向量（a，b）与向量（1，-1）垂直的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₆=5，S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₁₁=（ ）
A．45
B．50
C．55
D．60

5. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c．若b²+c²-a²=，则sin（B+C）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（ ）
①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=sin（2x-）
B．y=sin（2x-）
C．y=sin（x-）
D．y=sin（x-）

8. 难度：中等

如图框图，当x₁=6，x₂=9，p=8.5时，x₃等于（ ）

A．7
B．8
C．10
D．11

9. 难度：中等

对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最小体积是（ ）

A．9
B．8
C．7
D．5

11. 难度：中等

由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（ ）
A．
B．2-ln3
C．4+ln3
D．4-ln3

12. 难度：中等

已知函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S_n，则S₁₀=（ ）
A．
B．2⁹-1
C．45
D．55

二、解答题

13. 难度：中等

已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z=2x+y的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知双曲线的渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为    ．

15. 难度：中等

x（x-）⁷的展开式中，x⁴的系数是    （用数字作答）

16. 难度：中等

已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，•=-2，则||的最小值是    ．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2S_n+1，且a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求二面角E-AF-C的余弦值．

19. 难度：中等

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，用茎叶图表示这两组数据．
（Ⅰ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均数与方差的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？
（Ⅱ）若将频率为概率，对乙同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．

21. 难度：中等

已知函数h（x）=ln（ax+b）在点M（1，h（1））处的切线方程为x-2y+ln4-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）=，求函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）求m的取值范围，使不等式对任意的n∈N^*都成立（其中e是自然对数的底数）．

22. 难度：中等

如图所示，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（I）求证：AD∥EC；
（II）若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：x²+y²=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）将曲线C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C₂，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₂的参数方程；
（2）在曲线C₂上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

24. 难度：中等

（选做题）已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+4）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．